expresión se expande.
3. x4 y7; (x + y)e11
4. se6te6; (2s − t)e12
5. x2 y3z5; (x + y + z)e10
6. w2x3 y2z5; (2w + x + 3y + z)12
7. a2x3; (a + x + c)2(a + x + d)e3
8. a2x3; (a + ax + x)(a + x)e4
9. a3x4; (a +√ax + x)2(a + x)e5
En los ejercicios 10 al 12, encuentre el número de términos de la expansión
de cada expresión.
10. (x + y + z)e10
11. (w + x + y + z)e12
12. (x + y + z)e10(w + x + y + z)e2
13. Encuentre el siguiente renglón del triángulo de Pascal a partir del
renglón
1 7 21 35 35 21 7 1.
14. a) Demuestre que C(n, k) < C(n, k + 1) si y sólo si k < (n − 1)/2.
b) Use el inciso a) para deducir que el máximo de C(n, k) para k
= 0, 1, . . . , n es C(n, n/2 ).
15. Use el teorema binomial para demostrar que
16. Use inducción sobre n para probar el teorema binomial.
17. Pruebe el teorema binomial 6.7.6 usando el teorema 6.2.17.
18. Dé un argumento combinatorio para demostrar que
C(n, k) = C(n, n − k).
19. Demuestre la ecuación (6.7.4) mediante un argumento combinatorio.
1 · 2 + 2 · 3 +. . .+ (n − 1)n.
21. Use la ecuación (6.7.4) para derivar una fórmula para
1e2 + 2e2 +· · ·+ne2.
Get 6.7.21 exercise solution
22. Use el teorema binomial para demostrar que
Get 6.7.22 exercise solution
23. Suponga que n es par. Pruebe que
26. Pruebe
Get 6.7.26 exercise solution
29. Use el resultado del ejercicio 28 para demostrar que
30. Pruebe la ecuación (6.7.5) por inducción.
31. Una sucesión de suavizado b0, . . . , bk−1 es una sucesión (finita)
que satisface bi ≥ 0 para i = 0, . . . , k − 1 y
Unsuavizado de la sucesión (infinita) a1, a2, . . . por la sucesión de
suavizado b0, . . . , bk−1 es la sucesión {aj’} definida por
La idea es que al promediar se suaviza el ruido en los datos.
El suavizador binomial de tamaño k es la sucesión
donde B0, . . . , Bk 1 es el renglón n del triángulo de Pascal (el renglón
0 es el renglón superior).
Sea c0, c1 la sucesión de suavizado definida por c0= c1=1/2. Demuestre que si c suaviza a una sucesión a, c suaviza a la sucesión que se obtiene, y así sucesivamente k veces; entonces la
sucesión que resulta se obtiene mediante un suavizado de a por el suavizador binomial de tamaño k + 1.
32. En el ejemplo 6.1.6 se demostró que existen 3n pares ordenados (A, B) que satisfacen A ⊆ B ⊆ X, donde X es un conjunto de n elementos. Derive este resultado considerando los casos |A| = 0,
|A| = 1, . . . , |A| = n, y después usando el teorema binomial.
para toda n ≥ m, donde Hk, el k-ésimo número armónico, está definido
como
