respecto al orden dado.
1. R = {(1, δ), (2, α), (2, ), (3, β), (3, )}; orden de X: 1, 2, 3; orden
de Y: α, β, , δ
de Y: a, b, c, d
En los ejercicios 4 al 6, encuentre la matriz de la relación R sobre X
relativa al orden dado.
4. R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}; orden de X: 1, 2, 3, 4, 5
5. R como en el ejercicio 4; orden de X: 5, 3, 1, 2, 4
6. R = {(x, y) | x < y} ; orden de X: 1, 2, 3, 4
7. Encuentre las matrices que representan las relaciones de los ejercicios
13 al 16 de la sección 3.1.
En los ejercicios 8 al 10, escriba la relación R dada por la matriz, como
un conjunto de pares ordenados.
Get 3.3.10 exercise solution
11. ¿Cómo se puede determinar con facilidad si una relación R es antisimétrica
examinando la matriz de R (relativa a algún orden)?
12. Diga si la relación del ejercicio 10 es reflexiva, simétrica, transitiva,
antisimétrica, de orden parcial y/o una relación de equivalencia.
13. A partir de la matriz de una relación R de X a Y, ¿cómo podemos
encontrar la matriz de la relación inversa R−1?
14. Encuentre la matriz de la inversa de cada una de las relaciones en
los ejercicios 8 y 9.
ejemplos 3.3.7 y 3.3.8) para las relaciones de los ejercicios 4, 6 y 10.
En los ejercicios 16 al 18, encuentre
a) La matriz A1 de la relación R1 (relativa al orden dado)
b) La matriz A2 de la relación R2 (relativa al orden dado)
c) La matriz producto A1A2.
d) Use los resultados del inciso c) para encontrar la relación R2 o R1
e) Use el resultado del inciso d) para encontrar la relación R2 o R1
(como un conjunto de pares ordenados).
16. R1 = {(1, x), (1, y), (2, x), (3, x)}; R2 = {(x, b), (y, b), (y, a),
(y, c)} ; bajo el orden: 1, 2, 3; x, y; a, b, c
17. R1= {(x, y)|x divide a y}; R1 es de X a Y; R2= {(y, z)| y > z}; R2
es de Y a Z; orden de X y Y: 2, 3, 4, 5; orden de Z: 1, 2, 3, 4
18. R1= {(x, y) | x + y ≤ 6}; R1 es de X a Y; R2= {(y, z) | y = z +1}; R2 es de Y a Z; orden de X, Y y Z: 1, 2, 3, 4, 5
19. Dada la matriz de una relación de equivalencia R sobre X, ¿cómo
se puede encontrar con facilidad la clase de equivalencia que contiene
al elemento x ∈ X?
20. Sea R1 una relación de X a Y y sea R2 una relación de Y a Z. Elija
el orden de X, Y y Z. Todas las matrices de relaciones son relativas
a este orden. Sea A1 la matriz de R1 y sea A2 la matriz de R2. Demuestre
que el elemento ikésimo de la matriz producto A1A2 es
igual al número de elementos en el conjunto
{m | (i, m) ∈ R1 (m, k) ∈ R2}.
21. Suponga que R1 y R2 son relaciones en un conjunto X, A1 es la matriz
de R1 relativa a algún orden de X, y A2 es la matriz de R2 relativa
a algún orden de X. Sea A la matriz cuyo elemento ijésimo es
1 si el elemento ijésimo de A1 o de A2 es 1. Pruebe que A es la matriz
de R1∪ R2.
22. Suponga que R1 y R2 son relaciones en un conjunto X, A1 es la matriz
de R1 relativa a algún orden de X, y A2 es la matriz de R2 relativa
a algún orden de X. Sea A la matriz cuyo elemento ijésimo es 1 si los elementos ijésimo de ambas A1 y A2 son 1. Pruebe que A es la matriz de R1 ∩ R2.
23. Suponga que la matriz de la relación R1 en {1, 2, 3} es
relativa al orden 1, 2, 3. Con base en el ejercicio 21, encuentre la
matriz de la relación R1∪ R2 relativa al orden 1, 2, 3.
24. Con base en el ejercicio 22, encuentre la matriz de la relación R1∩ R2 relativa al orden 1, 2, 3 para las relaciones del ejercicio 23.
25. ¿Cómo se puede determinar con facilidad si una relación R es una
función examinando la matriz de R (relativa a algún orden)?
26. Sea A la matriz de una función f de X a Y (relativa a algún orden de
X y Y). ¿Qué condiciones deben satisfacer A para que f sea sobre Y?
27. Sea A la matriz de una función f de X a Y (relativa a algún orden de
X y Y). ¿Qué condiciones debe satisfacer A para que f sea uno a uno?
