1. {(1, a), (2, a), (3, c), (4, b)} Get 2.2.1 exercise solution
2. {(1, c), (2, a), (3, b), (4, c), (2, d)} Get 2.2.2 exercise solution
3. {(1, c), (2, d), (3, a), (4, b)} Get 2.2.3 exercise solution
4. {(1, d), (2, d), (4, a)} Get 2.2.4 exercise solution
5. {(1, b), (2, b), (3, b), (4, b)} Get 2.2.5 exercise solution
Dibuje las gráficas de las funciones en los ejercicios 6 al 9. El dominio de cada función es el conjunto de números reales.
6. f (x) = x − x Get 2.2.6 exercise solution
7. f (x) = x − x Get 2.2.7 exercise solution
8. f (x) = x2 Get 2.2.8 exercise solution
9. f (x) = x2 − x Get 2.2.9 exercise solution
Determine si cada función en los ejercicios 10 al 15 es uno a uno. El dominio de cada función es el conjunto de números reales. Si la función no es uno a uno, demuéstrelo. Además, determine si f es sobre el conjunto de números reales. Si f no es sobre, demuéstrelo.
17. Dé un ejemplo de una función diferente a las presentadas en el libro que sea sobre, pero no uno a uno, y pruebe que su función tiene las propiedades requeridas. Get 2.2.17 exercise solution
18. Dé un ejemplo de una función diferente a las presentadas en el libro que no sea uno a uno ni sobre, y pruebe que su función tiene las propiedades requeridas.
Cada función en los ejercicios 19 al 24 es uno a uno en el dominio especificado X. Si se hace Y = rango de f, se obtiene una biyección de X a Y. Encuentre la función inversa.Get 2.2.18 exercise solution
25. A partir de
g = {(1, b), (2, c), (3, a)},
una función de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c, d} y
f = {(a, x), (b, x), (c, z), (d, w)},
una función de Y a Z = {w, x, y, z}, escriba f g como un conjunto de pares ordenados y dibuje su diagrama de flechas. Get 2.2.25 exercise solution
26. Sean f y g funciones de los enteros positivos a los enteros positivos definidos por las ecuaciones
f (n) = 2n + 1, g(n) = 3n − 1.
Encuentre las composiciones f f, g g, f g y g f. Get 2.2.26 exercise solution
27. Sean f y g funciones de los enteros positivos a los enteros positivos definidos por las ecuaciones
f (n) = n2, g(n) = 2n.
Encuentre las composiciones f f, g g, f g y g f. Get 2.2.27 exercise solution
28. Sean f y g funciones de los números reales positivos a los números reales positivos definidos por las ecuaciones
f (x) = 2x , g(x) = x2.
Encuentre las composiciones f f, g g, f g y g f. Get 2.2.28 exercise solution
En los ejercicios 29 al 34, descomponga la función en funciones más
sencillas como en el ejemplo 2.2.43.
35. A partir de f = {(x, x2) | x ∈ X},
una función de X = {−5, −4, . . . , 4, 5} al conjunto de enteros, escriba f como un conjunto de pares ordenados y dibuje el diagrama de flechas de f. ¿Es f uno a uno o sobre? Get 2.2.35 exercise solution
36. ¿Cuántas funciones hay de {1, 2} a {a, b}? ¿Cuál es uno a uno?
¿Cuál es sobre? Get 2.2.36 exercise solution
37. A partir de
f = {(a, b), (b, a), (c, b)}
una función de X = {a, b, c} a X:
a) Escriba f f y f f f como conjuntos de pares ordenados.
b) Defina
f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f
como la composición de n-veces f consigo misma. Escriba f 9 y f 623 como conjuntos de pares ordenados. Get 2.2.37 exercise solution
38. Sea f la función de X = {0, 1, 2, 3, 4} a X definida por f (x) = 4x mod 5.
Escriba f como un conjunto de pares ordenados y dibuje el diagrama de flechas de f. ¿Es f uno a uno? ¿Es f sobre? Get 2.2.38 exercise solution
39. Sea f la función de X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a X definida por
f (x) = 4x mod 6.
Escriba f como un conjunto de pares ordenados y dibuje el diagrama de flechas de f. ¿Es f uno a uno? ¿Es f sobre? Get 2.2.39 exercise solution
40. Compruebe el dígito de verificación del ISBN de este libro. Get 2.2.40 exercise solution
41. Los códigos de producto universales (UPC, siglas en inglés para universal product code) son los códigos de barras que identifican los productos para que la caja pueda registrar el precio de manera automática.
Un UPC es un código de 12 dígitos donde el primero caracteriza el tipo de producto (0 identifica un artículo de abarrotes común, 2 es un artículo vendido por peso, 3 es un artículo médico, 4 es un artículo especial, 5 es un cupón y 6 y 7 son artículos no vendidos en tiendas al menudeo). Los 5 dígitos siguientes identifican el fabricante, los 5 dígitos siguientes identifican el producto y el último es un dígito de verificación o control. (Todos los códigos UPC tienen un dígito de
verificación. Siempre está presente en el código de barras, pero puede no aparecer en la versión impresa). Por ejemplo, el UPC para un paquete de 10 tostadas Ortega es 0-54400-00800-5. El primer 0 dice que se trata de un artículo de abarrotes. Los 5 dígitos que siguen, 54400 identifican al fabricante Nabisco Foods, y los 5 dígitos siguientes identifican el producto como un paquete de 10 tostadas Ortega.
El dígito de verificación se calcula como sigue. Primero se calcula s, donde s es 3 veces la suma de cada número con posición impar más la suma de cada número con posición par, excepto el dígito de verificación. Este último es el número c, entre 0 y 9 que satisface (c + S) mod 10 = 0. Para el código del paquete de tostadas se tendría
s = 3(0 + 4 + 0 + 0 + 8 + 0) + 5 + 4 + 0 + 0 + 0 = 45.
Como (5 + 45) mod 10 = 0, el dígito de control es 5.
Encuentre el dígito de control para el UPC cuyos 11 primeros dígitos son 3-41280-21414.
Para cada función de dispersión en los ejercicios 42 al 45, muestre cómo se insertarían los datos en el orden indicado para las celdas inicialmente vacías. Use la política de solución de colisión del ejemplo 2.2.14. Get 2.2.41 exercise solution
42. h(x) = x mod 11; celdas indexadas 0 a 10; datos: 53, 13, 281, 743,
377, 20, 10, 796. Get 2.2.42 exercise solution
43. h(x) = x mod 17; celdas indexadas 0 a 16; datos: 714, 631, 26, 373, 775, 906, 509, 2032, 42, 4, 136, 1028. Get 2.2.43 exercise solution
44. h(x) = x2 mod 11; celdas y datos como en el ejercicio 42. Get 2.2.44 exercise solution
45. h(x) = (x2 + x) mod 17; celdas y datos como en el ejercicio 43. Get 2.2.45 exercise solution
46. Suponga que se almacenan y recuperan datos como se describe enel ejemplo 2.2.14. ¿Surgirá algún problema si se eliminan datos? Explique su respuesta. Get 2.2.46 exercise solution
47. Suponga que se almacenan datos como se describe en el ejemplo 2.2.14 y que nunca se almacenan más de 10 datos. ¿Surgirá algún problema al recuperar los datos si se detiene la búsqueda al encontrar una celda vacía? Explique su respuesta. Get 2.2.47 exercise solution
48. Suponga que se almacenan datos como se describe en el ejemplo 2.2.14 y se recuperan como se describe en el ejercicio 47. ¿Surgirá algún problema si se eliminan datos? Explique su respuesta.
Sea g una función de X a Y y sea f una función de Y a Z. Para cada afirmación en los ejercicios 49 al 56, si es verdadera, demuéstrela; de otra manera, proporcione un contraejemplo. Get 2.2.48 exercise solution
49. Si g es uno a uno, entonces f g es uno a uno. Get 2.2.49 exercise solution
50. Si f es sobre, entonces f g es sobre. Get 2.2.50 exercise solution
51. Si g es sobre, entonces f g es sobre. Get 2.2.51 exercise solution
52. Si f y g son sobre, entonces f g es sobre. Get 2.2.52 exercise solution
53. Si f y g son uno a uno y sobre, entonces f g son uno a uno y sobre. Get 2.2.53 exercise solution
54. Si f g es uno a uno, entonces f es uno a uno. Get 2.2.54 exercise solution
55. Si f g es uno a uno, entonces g es uno a uno. Get 2.2.55 exercise solution
56. Si f g es sobre, entonces f es sobre.
Si f es una función de X a Y y A ⊆ X y B ⊆ Y, se define
f (A) = { f (x) | x ∈ A}, f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}.
Llamamos a f−1(B) la imagen inversa de B bajo f. Get 2.2.56 exercise solution
57. Sea
g = {(1, a), (2, c), (3, c)}
una función de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c, d}. Sea S = {1},
T = {1,3}, U = {a} y V = {a, c}. Encuentre g(S), g(T), g−1(U) y
g−1(V). Get 2.2.57 exercise solution
58. Sea f una función de X a Y. Pruebe que f es uno a uno si y sólo si f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)
para todos los subconjuntos A y B de X. [Cuando S es un conjunto, se define f (S) = {f (x) | x ∈ S}].
Get 2.2.58 exercise solution
59. Sea f una función de X a Y. Pruebe que f es uno a uno si y sólo si siempre que g es una función uno a uno de cualquier conjunto A a X, f g es uno a uno. Get 2.2.59 exercise solution
60. Sea f una función de X a Y. Demuestre que f es sobre Y si y sólo si siempre que g es una función de Y sobre cualquier conjunto Z, g f es sobre Z. Get 2.2.60 exercise solution
61. Sea f una función de X sobre Y. Sea
S = { f −1({y}) | y ∈ Y }. Get 2.2.61 exercise solution
Demuestre que S es una partición de X.
Los ejercicios 62 al 68 usan las siguientes definiciones. Sea U un conjuntouniversal y sea X ⊆ U. Defina
Cx se llama función característica de X (en U). (El siguiente rincón de solución de problemas le ayudará a comprender los siguientes ejercicios).
62. Pruebe que CX∩Y (x) = CX (x)CY (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.62 exercise solution
63. Pruebe que CX∪Y (x) = CX (x) + CY (x) − CX (x)CY (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.63 exercise solution
64. Pruebe que CX (x) = 1 − CX (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.64 exercise solution
65. Pruebe que CX−Y (x) = CX (x)[1 − CY (x)] para toda x ∈ U. Get 2.2.65 exercise solution
66. Pruebe que si X ⊆ Y entonces CX (x) ≤ CY (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.66 exercise solution
67. Encuentre una fórmula para CX Y . (X Y es la diferencia simétrica de X y Y. La definición se da en el ejercicio 75, sección 2.1.) Get 2.2.67 exercise solution
68. Pruebe que la función f de P(U) al conjunto de funciones características en U definido por f (X) = CX es uno a uno y sobre. Get 2.2.68 exercise solution
69. Sean X y Y conjuntos. Pruebe que existe una función uno a uno de X a Y si y sólo si existe una función de Y a X.
Un operador binario f en un conjunto X es conmutativo si f(x, y) = f(y, x) para toda x, y ∈ X. En los ejercicios 70 al 74, establezca si la función f es un operador binario en el conjunto X. Si f no es un operador binario, diga por qué. Indique si se cumple que cada operador binario es conmutativo.
70. f (x, y) = x + y, X = {1, 2, . . .} Get 2.2.70 exercise solution
71. f (x, y) = x − y, X = {1, 2, . . .} Get 2.2.71 exercise solution
72. f (x, y) = x ∪ y, X = P({1, 2, 3, 4}) Get 2.2.72 exercise solution
73. f (x, y) = x/y, X = {0, 1, 2, . . .} Get 2.2.73 exercise solution
74. f (x, y) = x2 + y2 − xy, X = {1, 2, . . .} Get 2.2.74 exercise solution
En los ejercicios 75 y 76, dé un ejemplo de un operador unitario [diferente
de f (x) = x, para toda x] sobre el conjunto dado.
75. {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Get 2.2.75 exercise solution
76. El conjunto de todos los subconjuntos finitos de {1, 2, 3, . . .} Get 2.2.76 exercise solution
77. Pruebe que si f es una función uno a uno y sobre de X a Y, entonces
{(y, x) | (x, y) ∈ f }
es una función uno a uno y sobre de Y a X. Get 2.2.77 exercise solution
En los ejercicios 78 al 80, si la afirmación es verdadera para todo
78. x + 3 = x + 3 Get 2.2.78 exercise solution
79. x + y = x + y Get 2.2.79 exercise solution
80. x + y = x + y Get 2.2.80 exercise solution
81. Pruebe que si n es un entero impar,
82. Pruebe que si n es un entero impar,
84. Pruebe que 2 x − 1 ≤ 2x ≤ 2 x para todo número real x. Los meses con viernes 13 en el año x se encuentran en el renglón
de la columna adecuada:
86. Encuentre los meses con viernes 13 en el presente año. Get 2.2.86 exercise solution
87. Encuentre los meses con viernes 13 en el año 2010. Get 2.2.87 exercise solution
