2. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.2) de un axioma del sistema de los números reales. Get 1.5.2 exercise solution
3. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.1) de una definición en la geometría euclidiana. Get 1.5.3 exercise solution
4. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.2) de una definición en el sistema de los números reales. Get 1.5.4 exercise solution
5. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.3) de un teorema en la geometría euclidiana. Get 1.5.5 exercise solution
6. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.5) de un teorema en el sistema de los números reales. Get 1.5.6 exercise solution
7. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son pares, entonces m + n es par. Get 1.5.7 exercise solution
8. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son impares, entonces m + n es par. Get 1.5.8 exercise solution
9. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son pares, entonces mn es par. Get 1.5.9 exercise solution
10. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son impares, entonces mn es impar. Get 1.5.10 exercise solution
11. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m es par y n es impar, entonces mn es par. Get 1.5.11 exercise solution
12. Si a y b son números reales, se define máx{a, b} como el máximo entre a y b o el valor común si son iguales. Pruebe que para todos
los números reales d, d1, d2, x,
si d = máx{d1, d2} y x ≥ d, entonces x ≥ d1 y x ≥ d2. Get 1.5.12 exercise solution
13. Justifique cada paso de la siguiente prueba directa, que muestra que si x es un número real, entonces x · 0 = 0. Suponga que los siguientes son teoremas previos: Si a, b y c son números reales, entonces b + 0 = b y a(b + c) = ab + ac. Si a + b = a + c, entonces
b = c.
Demostración x · 0 + 0 = x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0; por
lo tanto, x · 0 = 0. Get 1.5.13 exercise solution
14. Justifique cada paso de la siguiente demostración por contradicción, que muestra que si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0. Suponga que si a, b y c son números reales con ab = ac y a <> 0, entonces, b = c.
Demostración Suponga que xy = 0 y x <>0 y y <> 0. Como xy= 0 = x · 0 y x 0, y = 0, que es una contradicción. Get 1.5.14 exercise solution
15. Demuestre, por contradicción, que si se colocan 100 pelotas en nueve urnas, alguna urna contiene 12 pelotas o más. Get 1.5.15 exercise solution
16. Demuestre, por contradicción, que si se distribuyen 40 monedas en nueve bolsas de manera que cada bolsa contenga al menos una moneda, al menos dos bolsas contienen el mismo número de monedas. Get 1.5.16 exercise solution
17. Sea
el promedio de los números reales s1, . . . , sn. Demuestre, por contradicción,
que existe i tal que si ≥ A. Get 1.5.17 exercise solution
18. Sea
el promedio de los números reales s1, . . . , sn. Pruebe o desapruebe:
Existe i tal que si > A. ¿Qué técnica de demostración utilizó? Get 1.5.18 exercise solution
19. Sea
el promedio de los números reales s1, . . . , sn. Suponga que existe i tal que si < A. Pruebe o desapruebe: Existe j tal que sj > A. ¿Qué técnica de demostración usó? Get 1.5.19 exercise solution
20. Utilice la prueba por casos para demostrar que |xy| = |x||y| para todos los números reales x y y. Get 1.5.20 exercise solution
21. Utilice la prueba por casos para demostrar que |x + y| ≤ |x| + |y| para todos los números reales x y y. Get 1.5.21 exercise solution
22. Defina el signo del número real x, sgn(x), como
Use la prueba por casos para demostrar que |x| = sgn(x)x para todo número real x.
Get 1.5.22 exercise solution
23. Utilice la prueba por casos para demostrar que sgn(xy) = sgn(x)sgn(y) para todos los números reales x y y (sgn se define en el ejercicio 22). Get 1.5.23 exercise solution
24. Use los ejercicios 22 y 23 para dar otra prueba de que |xy| = |x||y| para todos los números reales x y y. Get 1.5.24 exercise solution
25. Use la prueba por casos para demostrar que máx{x, y} + mín{x,y} = x + y para todos los números reales x y y. Get 1.5.25 exercise solution
26. Utilice la demostración por casos para probar que
para todos los números reales x y y. Get 1.5.26 exercise solution
27. Utilice la demostración por casos para probar que
para todos los números reales x y y. Get 1.5.27 exercise solution
28. Utilice los ejercicios 26 y 27 para probar que máx{x, y} + mín{x,y} = x + y para todos los números reales x y y. Get 1.5.28 exercise solution
29. Sea s1, . . . , sn una secuencia‡ que satisface
a) s1 es un entero positivo y sn es un entero negativo.
b) para toda i, 1 ≤ i < n, si+1 = si+ 1 o si+1= si – 1.
Pruebe que existe i, 1 < i < n, tal que si = 0.
Los estudiantes de cálculo reconocerán este ejercicio como la versión discreta del teorema de cálculo: Si f es una función continua sobre [a, b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces f(c) = 0 para alguna c en (a, b). Existen pruebas similares de las dos afirmaciones. Get 1.5.29 exercise solution
30. Desapruebe la afirmación: Para todo entero positivo n, n2 ≤ 2n.
Formule con símbolos los argumentos de los ejercicios 31 al 35 y determine si cada uno es válido. Sean p: Estudio duro. q: Obtengo 10. r: Me hago rico. Get 1.5.30 exercise solution
31. Si estudio duro, entonces obtengo 10.
Estudio duro.
∴ obtengo 10. Get 1.5.31 exercise solution
32. Si estudio duro, entonces obtengo 10.
Si no me hago rico, entonces no obtengo 10.
∴ Me hago rico. Get 1.5.32 exercise solution
33. Estudio duro si y sólo si me hago rico.
Me hago rico
∴ estudio duro. Get 1.5.33 exercise solution
34. Si estudio duro o me hago rico, entonces obtengo 10.
Obtengo 10.
∴ si no estudio duro, entonces me hago rico. Get 1.5.34 exercise solution
35. Si estudio mucho, entonces obtengo 10 o me hago rico.
No obtengo 10 y no me hago rico.
∴ no estudio duro. Get 1.5.35 exercise solution
En los ejercicios 36 al 40, escriba el argumento en palabras y determine si cada argumento es válido. Sean
p: 4 megabytes es mejor que sin memoria.
q: Compraremos más memoria.
r: Compraremos una computadora nueva.
Get 1.5.36 exercise solution
Get 1.5.37 exercise solution
Get 1.5.38 exercise solution
Get 1.5.39 exercise solution
Get 1.5.40 exercise solution
Determine si cada argumento en los ejercicios 41 al 45 es válido.
Get 1.5.41 exercise solution
Get 1.5.42 exercise solution
Get 1.5.43 exercise solution
Get 1.5.44 exercise solution
Get 1.5.45 exercise solution
46. Demuestre que si
p1, p2/∴ p y p, p3, . . . , pn/∴ c
son argumentos válidos, el argumento
p1, p2, . . . , pn/∴ c
también es válido. Get 1.5.46 exercise solution
47. Comente el siguiente argumento:
Almacenar en disco flexible es mejor que nada.
Nada es mejor que un disco duro.
∴ Almacenar en disco flexible es mejor que un disco duro. Get 1.5.47 exercise solution
48. Analice los siguientes comentarios del crítico de cine Roger Ebert:
Ninguna buena película es demasiado larga. Ninguna mala película es demasiado corta. “Amor en realidad” es buena, pero es demasiado larga.
Para cada argumento en los ejercicios 49 al 52, diga qué regla de inferencia se usó. Get 1.5.48 exercise solution
49. La pesca es un deporte popular. Por lo tanto, pescar es un deporte popular o el lacrosse es muy popular en California. Get 1.5.49 exercise solution
50. Si la pesca es un deporte popular, entonces el lacrosse es muy popular en California. La pesca es un deporte popular. Por lo tanto, el lacrosse es muy popular en California. Get 1.5.50 exercise solution
51. La pesca es un deporte popular o el lacrosse es muy popular en California. El lacrosse no es muy popular en California. Por lo tanto, la pesca es un deporte popular. Get 1.5.51 exercise solution
52. Todo número racional es de la forma p/q, donde p y q son enteros. Por lo tanto, 9.345 es de la forma p/q. Get 1.5.52 exercise solution
En los ejercicios 53 al 58, dé un argumento usando las reglas de inferencia para demostrar que la conclusión se deriva de las hipótesis.
53. Hipótesis: Si el auto tiene gasolina, entonces iré a la tienda. Si voy a la tienda, entonces compraré un refresco. El auto tiene gasolina.
Conclusión: Compraré un refresco. Get 1.5.53 exercise solution
54. Hipótesis: Si el auto tiene gasolina, entonces iré a la tienda. Si voy a la tienda, entonces compararé un refresco. No compro un refresco.
Conclusión: El auto no tiene gasolina o la transmisión del auto está defectuosa. Get 1.5.54 exercise solution
55. Hipótesis: Si Julio puede cantar o Daniel puede jugar, entonces compraré el CD. Julio puede cantar. Compraré el reproductor de CD. Conclusión: Compraré el CD y el reproductor de CD. Get 1.5.55 exercise solution
56. Hipótesis: Todos en clase tienen una calculadora que grafica. Todos los que tienen calculadora que grafica entienden las funciones trigonométricas. Conclusión: Rafael, que está en la clase, entiende las funciones trigonométricas. Get 1.5.56 exercise solution
57. Hipótesis: Ken, un miembro de los Titanes, puede batear lejos. Todos los que pueden batear lejos pueden ganar mucho dinero. Conclusión: Algún miembro de los Titanes puede ganar mucho dinero. Get 1.5.57 exercise solution
58. Hipótesis: Todos en la clase de matemáticas discretas aman las demostraciones.
Alguien en la clase de matemáticas discretas nunca ha tomado cálculo. Conclusión: Alguien que ama las demostraciones nunca ha tomado cálculo. Get 1.5.58 exercise solution
59. Demuestre que el Modus tollens (vea la figura 1.5.1) es válido. Get 1.5.59 exercise solution
60. Demuestre que la Suma (vea la figura 1.5.1) es válida. Get 1.5.60 exercise solution
61. Demuestre que la Simplificación (vea la figura 1.5.1) es válida. Get 1.5.61 exercise solution
62. Demuestre que la Conjunción (vea la figura 1.5.1) es válida. Get 1.5.62 exercise solution
63. Demuestre que el Silogismo Hipotético (vea la figura 1.5.1) es válido. Get 1.5.63 exercise solution
64. Demuestre que el Silogismo Disyuntivo (vea la figura 1.5.1) es válido. Get 1.5.64 exercise solution
65. Demuestre que la generalización universal (vea la figura 1.5.2) es válida. Get 1.5.65 exercise solution
66. Demuestre que la particularización existencial (vea la figura 1.5.2) es válida. Get 1.5.66 exercise solution
67. Demuestre que la generalización existencial (vea la figura 1.5.2) es válida. Get 1.5.67 exercise solution
