Soluciones Ejercicios Capítulo 2.3 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

Responda a los ejercicios 1 al 3 para la sucesión s definida por c, d, d, c, d, c.

1. Encuentre s1. Get 2.3.1 exercise solution

2. Encuentre s4. Get 2.3.2 exercise solution

3. Escriba s como una cadena.
Responda a los ejercicios 4 al 16 para la sucesión t definida por
tn = 2n − 1, n ≥ 1. Get 2.3.3 exercise solution

4. Encuentre t3. Get 2.3.4 exercise solution

5. Encuentre t7. Get 2.3.5 exercise solution

6. Encuentre t100. Get 2.3.6 exercise solution

7. Encuentre t207 Get 2.3.7 exercise solution





12. Encuentre una fórmula que represente esta sucesión como una sucesión
cuyo índice inferior es 0. Get 2.3.12 exercise solution

 13. ¿Es t creciente? Get 2.3.13 exercise solution

14. ¿Es t decreciente? Get 2.3.14 exercise solution

15. ¿Es t no creciente? Get 2.3.15 exercise solution

16. ¿Es t no decreciente?
Responda a los ejercicios 17 al 24 para la sucesión v definida por
vn= n! + 2, n ≥ 1.  Get 2.3.16 exercise solution

17. Encuentre v3.  Get 2.3.17 exercise solution

18. Encuentre v4. Get 2.3.18 exercise solution




21. ¿Es v creciente?  Get 2.3.21 exercise solution

22. ¿Es v decreciente? Get 2.3.22 exercise solution

23. ¿Es v no creciente? Get 2.3.23 exercise solution

24. ¿Es v no decreciente?
Responda a los ejercicios 25 al 30 para la sucesión
q1= 8, q2= 12, q3= 12, q4= 28, q5= 33. Get 2.3.24 exercise solution








27. ¿Es q creciente? Get 2.3.27 exercise solution

28. ¿Es q decreciente? Get 2.3.28 exercise solution

29. ¿Es q no creciente?  Get 2.3.29 exercise solution

30. ¿Es q no decreciente?  Get 2.3.30 exercise solution

Responda a los ejercicios 31 al 34 para la sucesión
τ0= 5, τ2= 5.
31. ¿Es τ creciente? Get 2.3.31 exercise solution

32. ¿Es τ decreciente? Get 2.3.32 exercise solution

33. ¿Es τ no creciente?  Get 2.3.33 exercise solution

34. ¿Es τ no decreciente? Get 2.3.34 exercise solution

Responda a los ejercicios 35 al 38 para la sucesión ϒ2= 5.
35. ¿Es ϒ creciente? Get 2.3.35 exercise solution

36. ¿Es ϒ decreciente? Get 2.3.36 exercise solution

37. ¿Es ϒ no creciente? Get 2.3.37 exercise solution

38. ¿Es ϒ no decreciente?  Get 2.3.38 exercise solution
Responda a los ejercicios 39 al 50 para la sucesión definida por an= n2 − 3n + 3, n ≥ 1.







47. ¿Es a creciente?  Get 2.3.47 exercise solution

48. ¿Es a decreciente? Get 2.3.48 exercise solution

49. ¿Es a no creciente? Get 2.3.49 exercise solution

50. ¿Es a no decreciente? Get 2.3.50 exercise solution

Responda a los ejercicios 51 al 58 para la sucesión b definida por bn= n(−1)n, n ≥ 1.

 


55. ¿Es b creciente? Get 2.3.55 exercise solution

56. ¿Es b decreciente? Get 2.3.56 exercise solution

57. ¿Es b no creciente? Get 2.3.57 exercise solution

58. ¿Es b no decreciente? Get 2.3.58 exercise solution

Responda a los ejercicios 59 al 66 para la sucesión      definida por     n= 3 para toda n.




63. ¿Es      creciente? Get 2.3.63 exercise solution

64. ¿Es      decreciente? Get 2.3.64 exercise solution

65. ¿Es      no creciente?  Get 2.3.65 exercise solution

66. ¿Es      no decreciente? Get 2.3.66 exercise solution

Responda a los ejercicios 67 al 73 para la sucesión x definida por x1 = 2, xn = 3 + xn−1, n ≥ 2.

70. ¿Es x creciente? Get 2.3.70 exercise solution

71. ¿Es x decreciente? Get 2.3.71 exercise solution

72. ¿Es x no creciente? Get 2.3.72 exercise solution

73. ¿Es x no decreciente? Get 2.3.73 exercise solution

Responda a los ejercicios 74 al 81 para la sucesión w definida por




78. ¿Es w creciente?   Get 2.3.78 exercise solution

79. ¿Es w decreciente?   Get 2.3.79 exercise solution

80. ¿Es w no creciente? Get 2.3.80 exercise solution

81. ¿Es w no decreciente? Get 2.3.81 exercise solution
 
82. Sea u la sucesión definida por
u1 = 3, un = 3 + un−1, n ≥ 2.

Encuentre una fórmula para la sucesión d definida por

Los ejercicios 83 al 86 se refieren a la sucesión {sn} definida por la regla
sn
= 2n − 1, n ≥ 1.

83. Enumere los primeros siete términos de s.
Responda a los ejercicios 84 al 86 para la subsucesión de s obtenida
tomando el primero, tercero, quinto, ... términos. Get 2.3.83 exercise solution

84. Liste los primeros siete términos de la subsucesión. Get 2.3.84 exercise solution

85. Encuentre una fórmula para la expresión nk de la definición 2.3.11.  Get 2.3.85 exercise solution

86. Encuentre una fórmula para el k-ésimo término de la subsucesión.
Los ejercicios 87 al 90 se refieren a la sucesión {tn} definida por la
regla
tn
= 2n, n ≥ 1.  Get 2.3.86 exercise solution
87. Liste los primeros siete términos de t.
Responda a los ejercicios 88 al 90 para la subsucesión de t obtenida al
tomar el primero, segundo, cuarto, séptimo, undécimo, ... términos.Get 2.3.87 exercise solution

88. Liste los primeros siete términos de la subsucesión. Get 2.3.88 exercise solution

89. Encuentre una fórmula para la expresión nk de la definición 2.3.11. Get 2.3.89 exercise solution

90. Encuentre una fórmula para el k-ésimo término de la subsucesión.
Responda a los ejercicios 91 al 94 usando las sucesiones y y z definidas
por
   

Responda a los ejercicios 95 al 102 para la sucesión r definida por
95. Encuentre r0.  Get 2.3.95 exercise solution

96. Encuentre r1. Get 2.3.96 exercise solution


97. Encuentre r2.  Get 2.3.97 exercise solution

98. Encuentre r3.  Get 2.3.98 exercise solution

99. Encuentre una fórmula para rp. Get 2.3.99 exercise solution

100. Encuentre una fórmula para rn −1.  Get 2.3.100 exercise solution

101. Encuentre una fórmula para rn −2.  Get 2.3.101 exercise solution

102. Demuestre que {rn} satisface
rn = 7rn−1 − 10rn−2, n ≥ 2.  Get 2.3.102 exercise solution

Responda a los ejercicios 103 al 110 para la sucesión z definida por
zn = (2 + n)3n, n ≥ 0.

103. Encuentre z0.   Get 2.3.103 exercise solution

104. Encuentre z1.  Get 2.3.104 exercise solution

105. Encuentre z2. Get 2.3.105 exercise solution

106. Encuentre z3. Get 2.3.106 exercise solution

107. Encuentre una fórmula para zi. Get 2.3.107 exercise solution

108. Encuentre una fórmula para zn −1. Get 2.3.108 exercise solution

109. Encuentre una fórmula para zn −2. Get 2.3.109 exercise solution

110. Demuestre que {zn} satisface
zn = 6zn−1 − 9zn−2, n ≥ 2. Get 2.3.110 exercise solution

111. Encuentre bn, n = 1, . . . , 6, donde

112. Rescriba la suma
 


Esta ecuación, conocida como fórmula de la suma por partes, es el análogo discreto de la fórmula de integración por partes en cálculo.

115. En ocasiones, se generaliza la noción de sucesión según se define en esta sección al permitir índices más generales. Suponga que
{aij} es una sucesión indexada sobre los pares de enteros positivos.
Demuestre que




116. Calcule la cantidad indicada usando las cadenas
α = baab, β = caaba, γ = bbab.
a) αβ b) βα c) αα
d) ββ e) |αβ| f) |βα|
g) |αα| h) |ββ| i) αλ
j) λβ k) αβγ l) ββγα

117. Liste todas las cadenas sobre X = {0,1} de longitud 2. Get 2.3.117 exercise solution

118. Liste todas las cadenas sobre X = {0,1} de longitud 2 o menos. Get 2.3.118 exercise solution

119. Liste todas las cadenas sobre X = {0,1} de longitud 3. Get 2.3.119 exercise solution

120. Liste todas las cadenas sobre X = {0,1} de longitud 3 o menos. Get 2.3.120 exercise solution

121. Encuentre todas las subcadenas de la cadena babc.  Get 2.3.121 exercise solution

122. Encuentre todas las subcadenas de la cadena aabaabb. Get 2.3.122 exercise solution

123. Use inducción para probar que




para toda n ≥ 1, donde la suma se toma sobre todos los subconjuntos
no vacíos {n1, n2, . . . , nk} de {1, 2, . . . , n}.
Sea L el conjunto de todas las cadenas, incluyendo la cadena nula, que
se pueden construir con la aplicación repetida de las siguientes reglas:
■ Si α ∈ L, entonces aαb ∈ L y bαa ∈ L.
■ Si α ∈ L y β ∈ L, entonces αβ ∈ L.
Por ejemplo, ab está en L, ya que si se hace α = λ, entonces α ∈ L y la
primera regla establece que ab = aαb ∈ L. De manera similar, ba ∈ L.
Como otro ejemplo, aabb está en L porque si se toma α = ab, entonces
α ∈ L; por la primera regla, aabb = aαb ∈ L. Como ejemplo final,
aabbba está en L, porque si se hace α = aabb y β = ba, entonces
α ∈ L y β ∈ L; por la segunda regla, aabbba = αβ ∈ L.  Get 2.3.123 exercise solution

124. Demuestre que aaabbb está en L. Get 2.3.124 exercise solution

125. Demuestre que baabab está en L. Get 2.3.125 exercise solution

126. Demuestre que aab no está en L. Get 2.3.126 exercise solution

127. Pruebe que si α ∈ L, α tiene el mismo número de letras a y b.  Get 2.3.127 exercise solution

128. Pruebe que si α tiene el mismo número de letras a y b, entonces α ∈ L. Get 2.3.128 exercise solution







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Soluciones Ejercicios Capítulo 2.2 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

Determine si cada conjunto en los ejercicios 1 al 5 es una función de X = {1, 2, 3, 4} a Y = {a, b, c, d}. Si es una función, encuentre su dominio y rango, dibuje el diagrama de flechas y determine si es uno a uno, sobre o ambas. Si es uno a uno y sobre, dé la descripción de la función inversa como un conjunto de pares ordenados. Dibuje el diagrama de flechas y dé el dominio y el rango de la función inversa.

1. {(1, a), (2, a), (3, c), (4, b)} Get 2.2.1 exercise solution

2. {(1, c), (2, a), (3, b), (4, c), (2, d)} Get 2.2.2 exercise solution

3. {(1, c), (2, d), (3, a), (4, b)} Get 2.2.3 exercise solution

4. {(1, d), (2, d), (4, a)} Get 2.2.4 exercise solution

5. {(1, b), (2, b), (3, b), (4, b)}  Get 2.2.5 exercise solution

Dibuje las gráficas de las funciones en los ejercicios 6 al 9. El dominio de cada función es el conjunto de números reales.
6. f (x) = x − x Get 2.2.6 exercise solution

7. f (x) = x − x Get 2.2.7 exercise solution

8. f (x) = x2 Get 2.2.8 exercise solution

9. f (x) = x2 − x Get 2.2.9 exercise solution

Determine si cada función en los ejercicios 10 al 15 es uno a uno. El dominio de cada función es el conjunto de números reales. Si la función no es uno a uno, demuéstrelo. Además, determine si f es sobre el conjunto de números reales. Si f no es sobre, demuéstrelo.


16. Dé un ejemplo de una función diferente a las presentadas en el libro que sea uno a uno, pero no sobre, y pruebe que su función tiene las propiedades requeridas. Get 2.2.16 exercise solution

17. Dé un ejemplo de una función diferente a las presentadas en el libro que sea sobre, pero no uno a uno, y pruebe que su función tiene las propiedades requeridas. Get 2.2.17 exercise solution

18. Dé un ejemplo de una función diferente a las presentadas en el libro que no sea uno a uno ni sobre, y pruebe que su función tiene las propiedades requeridas.
Cada función en los ejercicios 19 al 24 es uno a uno en el dominio especificado X. Si se hace Y = rango de f, se obtiene una biyección de X a Y. Encuentre la función inversa.Get 2.2.18 exercise solution



25. A partir de
g = {(1, b), (2, c), (3, a)},
una función de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c, d} y
f = {(a, x), (b, x), (c, z), (d, w)},
una función de Y a Z = {w, x, y, z}, escriba f g como un conjunto de pares ordenados y dibuje su diagrama de flechas.  Get 2.2.25 exercise solution

26. Sean f y g funciones de los enteros positivos a los enteros positivos definidos por las ecuaciones
f (n) = 2n + 1, g(n) = 3n − 1.
Encuentre las composiciones f f, g g, f g y g f. Get 2.2.26 exercise solution

27. Sean f y g funciones de los enteros positivos a los enteros positivos definidos por las ecuaciones
f (n) = n2, g(n) = 2n.
Encuentre las composiciones f f, g g, f g y g f. Get 2.2.27 exercise solution

28. Sean f y g funciones de los números reales positivos a los números reales positivos definidos por las ecuaciones
f (x) = 2x , g(x) = x2.
Encuentre las composiciones f f, g g, f g y g f. Get 2.2.28 exercise solution

En los ejercicios 29 al 34, descomponga la función en funciones más
sencillas como en el ejemplo 2.2.43.


35. A partir de f = {(x, x2) | x ∈ X},
una función de X = {−5, −4, . . . , 4, 5} al conjunto de enteros, escriba f como un conjunto de pares ordenados y dibuje el diagrama de flechas de f. ¿Es f uno a uno o sobre? Get 2.2.35 exercise solution

36. ¿Cuántas funciones hay de {1, 2} a {a, b}? ¿Cuál es uno a uno?
¿Cuál es sobre? Get 2.2.36 exercise solution

37. A partir de
f = {(a, b), (b, a), (c, b)}
una función de X = {a, b, c} a X:
a) Escriba f f y f f f como conjuntos de pares ordenados.
b) Defina
f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f
como la composición de n-veces f consigo misma. Escriba f 9 y f 623 como conjuntos de pares ordenados.  Get 2.2.37 exercise solution

38. Sea f la función de X = {0, 1, 2, 3, 4} a X definida por f (x) = 4x mod 5.
Escriba f como un conjunto de pares ordenados y dibuje el diagrama de flechas de f. ¿Es f uno a uno? ¿Es f sobre?  Get 2.2.38 exercise solution

39. Sea f la función de X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} a X definida por
f (x) = 4x mod 6.
Escriba f como un conjunto de pares ordenados y dibuje el diagrama de flechas de f. ¿Es f uno a uno? ¿Es f sobre? Get 2.2.39 exercise solution

40. Compruebe el dígito de verificación del ISBN de este libro. Get 2.2.40 exercise solution

41. Los códigos de producto universales (UPC, siglas en inglés para universal product code) son los códigos de barras que identifican los productos para que la caja pueda registrar el precio de manera automática.
Un UPC es un código de 12 dígitos donde el primero caracteriza el tipo de producto (0 identifica un artículo de abarrotes común, 2 es un artículo vendido por peso, 3 es un artículo médico, 4 es un artículo especial, 5 es un cupón y 6 y 7 son artículos no vendidos en tiendas al menudeo). Los 5 dígitos siguientes identifican el fabricante, los 5 dígitos siguientes identifican el producto y el último es un dígito de verificación o control. (Todos los códigos UPC tienen un dígito de
verificación. Siempre está presente en el código de barras, pero puede no aparecer en la versión impresa). Por ejemplo, el UPC para un paquete de 10 tostadas Ortega es 0-54400-00800-5. El primer 0 dice que se trata de un artículo de abarrotes. Los 5 dígitos que siguen, 54400 identifican al fabricante Nabisco Foods, y los 5 dígitos siguientes identifican el producto como un paquete de 10 tostadas Ortega.

El dígito de verificación se calcula como sigue. Primero se calcula s, donde s es 3 veces la suma de cada número con posición impar más la suma de cada número con posición par, excepto el dígito de verificación. Este último es el número c, entre 0 y 9 que satisface (c + S) mod 10 = 0. Para el código del paquete de tostadas se tendría
s = 3(0 + 4 + 0 + 0 + 8 + 0) + 5 + 4 + 0 + 0 + 0 = 45.
Como (5 + 45) mod 10 = 0, el dígito de control es 5.
Encuentre el dígito de control para el UPC cuyos 11 primeros dígitos son 3-41280-21414.

Para cada función de dispersión en los ejercicios 42 al 45, muestre cómo se insertarían los datos en el orden indicado para las celdas inicialmente vacías. Use la política de solución de colisión del ejemplo 2.2.14.  Get 2.2.41 exercise solution

42. h(x) = x mod 11; celdas indexadas 0 a 10; datos: 53, 13, 281, 743,
377, 20, 10, 796.  Get 2.2.42 exercise solution

43. h(x) = x mod 17; celdas indexadas 0 a 16; datos: 714, 631, 26, 373, 775, 906, 509, 2032, 42, 4, 136, 1028.  Get 2.2.43 exercise solution

44. h(x) = x2 mod 11; celdas y datos como en el ejercicio 42.  Get 2.2.44 exercise solution

45. h(x) = (x2 + x) mod 17; celdas y datos como en el ejercicio 43.  Get 2.2.45 exercise solution

46. Suponga que se almacenan y recuperan datos como se describe enel ejemplo 2.2.14. ¿Surgirá algún problema si se eliminan datos? Explique su respuesta. Get 2.2.46 exercise solution

47. Suponga que se almacenan datos como se describe en el ejemplo 2.2.14 y que nunca se almacenan más de 10 datos. ¿Surgirá algún problema al recuperar los datos si se detiene la búsqueda al encontrar una celda vacía? Explique su respuesta.  Get 2.2.47 exercise solution

48. Suponga que se almacenan datos como se describe en el ejemplo 2.2.14 y se recuperan como se describe en el ejercicio 47. ¿Surgirá algún problema si se eliminan datos? Explique su respuesta.
Sea g una función de X a Y y sea f una función de Y a Z. Para cada afirmación en los ejercicios 49 al 56, si es verdadera, demuéstrela; de otra manera, proporcione un contraejemplo. Get 2.2.48 exercise solution

49. Si g es uno a uno, entonces f g es uno a uno. Get 2.2.49 exercise solution

50. Si f es sobre, entonces f g es sobre. Get 2.2.50 exercise solution

51. Si g es sobre, entonces f g es sobre. Get 2.2.51 exercise solution

52. Si f y g son sobre, entonces f g es sobre.  Get 2.2.52 exercise solution

53. Si f y g son uno a uno y sobre, entonces f g son uno a uno y sobre.  Get 2.2.53 exercise solution

54. Si f g es uno a uno, entonces f es uno a uno.  Get 2.2.54 exercise solution

55. Si f g es uno a uno, entonces g es uno a uno. Get 2.2.55 exercise solution

56. Si f g es sobre, entonces f es sobre.
Si f es una función de X a Y y A ⊆ X y B ⊆ Y, se define
f (A) = { f (x) | x ∈ A}, f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}.
Llamamos a f−1(B) la imagen inversa de B bajo f. Get 2.2.56 exercise solution

57. Sea
g = {(1, a), (2, c), (3, c)}
una función de X = {1, 2, 3} a Y = {a, b, c, d}. Sea S = {1},
T = {1,3}, U = {a} y V = {a, c}. Encuentre g(S), g(T), g−1(U) y
g−1(V).  Get 2.2.57 exercise solution

58. Sea f una función de X a Y. Pruebe que f es uno a uno si y sólo si f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)

para todos los subconjuntos A y B de X. [Cuando S es un conjunto, se define f (S) = {f (x) | x ∈ S}].
Get 2.2.58 exercise solution

59. Sea f una función de X a Y. Pruebe que f es uno a uno si y sólo si siempre que g es una función uno a uno de cualquier conjunto A a X, f g es uno a uno.  Get 2.2.59 exercise solution

60. Sea f una función de X a Y. Demuestre que f es sobre Y si y sólo si siempre que g es una función de Y sobre cualquier conjunto Z, g f es sobre Z.  Get 2.2.60 exercise solution

61. Sea f una función de X sobre Y. Sea
S = { f −1({y}) | y ∈ Y }. Get 2.2.61 exercise solution

Demuestre que S es una partición de X.
Los ejercicios 62 al 68 usan las siguientes definiciones. Sea U un conjuntouniversal y sea X ⊆ U. Defina


Cx se llama función característica de X (en U). (El siguiente rincón de solución de problemas le ayudará a comprender los siguientes ejercicios).

62. Pruebe que CX∩Y (x) = CX (x)CY (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.62 exercise solution

63. Pruebe que CX∪Y (x) = CX (x) + CY (x) − CX (x)CY (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.63 exercise solution

64. Pruebe que CX (x) = 1 − CX (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.64 exercise solution

65. Pruebe que CX−Y (x) = CX (x)[1 − CY (x)] para toda x ∈ U. Get 2.2.65 exercise solution

66. Pruebe que si X ⊆ Y entonces CX (x) ≤ CY (x) para toda x ∈ U. Get 2.2.66 exercise solution

67. Encuentre una fórmula para CX Y . (X Y es la diferencia simétrica de X y Y. La definición se da en el ejercicio 75, sección 2.1.) Get 2.2.67 exercise solution

68. Pruebe que la función f de P(U) al conjunto de funciones características en U definido por f (X) = CX es uno a uno y sobre.  Get 2.2.68 exercise solution

69. Sean X y Y conjuntos. Pruebe que existe una función uno a uno de X a Y si y sólo si existe una función de Y a X.
Un operador binario f en un conjunto X es conmutativo si f(x, y) = f(y, x) para toda x, y ∈ X. En los ejercicios 70 al 74, establezca si la función f es un operador binario en el conjunto X. Si f no es un operador binario, diga por qué. Indique si se cumple que cada operador binario es conmutativo.

70. f (x, y) = x + y, X = {1, 2, . . .} Get 2.2.70 exercise solution

71. f (x, y) = x − y, X = {1, 2, . . .} Get 2.2.71 exercise solution

72. f (x, y) = x ∪ y, X = P({1, 2, 3, 4})  Get 2.2.72 exercise solution

73. f (x, y) = x/y, X = {0, 1, 2, . . .} Get 2.2.73 exercise solution

74. f (x, y) = x2 + y2 − xy, X = {1, 2, . . .} Get 2.2.74 exercise solution

En los ejercicios 75 y 76, dé un ejemplo de un operador unitario [diferente
de f (x) = x, para toda x] sobre el conjunto dado.
75. {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Get 2.2.75 exercise solution

76. El conjunto de todos los subconjuntos finitos de {1, 2, 3, . . .} Get 2.2.76 exercise solution

77. Pruebe que si f es una función uno a uno y sobre de X a Y, entonces
{(y, x) | (x, y) ∈ f }
es una función uno a uno y sobre de Y a X.  Get 2.2.77 exercise solution

En los ejercicios 78 al 80, si la afirmación es verdadera para todo

78. x + 3 = x + 3 Get 2.2.78 exercise solution

79. x + y = x + y  Get 2.2.79 exercise solution

80. x + y = x + y Get 2.2.80 exercise solution

81. Pruebe que si n es un entero impar,


82. Pruebe que si n es un entero impar,

83. Encuentre un valor de x para el cual 2x = 2 x − 1


84. Pruebe que 2 x − 1 ≤ 2x ≤ 2 x para todo número real x. Los meses con viernes 13 en el año x se encuentran en el renglón

de la columna adecuada:


85. Encuentre los meses con viernes 13 en 1945.  Get 2.2.85 exercise solution

86. Encuentre los meses con viernes 13 en el presente año. Get 2.2.86 exercise solution

87. Encuentre los meses con viernes 13 en el año 2010. Get 2.2.87 exercise solution
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Soluciones Ejercicios Capítulo 2.1 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

En los ejercicios 1 al 16, establezca el universo como el conjunto U =
{1, 2, 3, . . . , 10}. Sea A = {1, 4, 7, 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5} y C = {2,
4, 6, 8}. Liste los elementos de cada conjunto.

1. A ∪ B  Get 2.1.1 exercise solution

2. B ∩ C Get 2.1.2 exercise solution

3. A − B Get 2.1.3 exercise solution

4. B − A Get 2.1.4 exercise solution

 
 


 En los ejercicios 17 al 24, dibuje un diagrama de Venn y sombree el conjunto indicado.


 Los ejercicios 25 al 29 se refieren a un grupo de 191 estudiantes, de los cuales 10 toman francés, negocios y música; 36 toman francés y negocios; 20 están en francés y música; 18 en negocios y música; 65 en francés; 76 en negocios y 63 toman música.

25. ¿Cuántos toman francés y música pero no negocios? Get 2.1.25 exercise solution

26. ¿Cuántos toman negocios pero no francés ni música? Get 2.1.26 exercise solution

27. ¿Cuántos toman francés o negocios (o ambos)? Get 2.1.27 exercise solution

28. ¿Cuántos toman música o francés (o ambos) pero no negocios? Get 2.1.28 exercise solution

29. ¿Cuántos no toman ninguna de las tres materias? Get 2.1.29 exercise solution

30. Una encuesta sobre televisión de 151 personas encontró que 68 ven “La ley y el desorden”; 61 ven “Ala este”; 52 ven “Los tenores”; 16 ven tanto “La ley y el desorden” como “Ala este”; 25 ven
“La ley y el desorden” y “Los tenores”; 19 ven “Ala este” y “Los tenores”; y 26 no ven ninguno de estos programas. ¿Cuántas personas ven los tres programas? Get 2.1.30 exercise solution

31. En un grupo de estudiantes, cada uno toma un curso de matemáticas o computación o ambos. Un quinto de los que toman matemáticas también toman computación y un octavo de los que toman computación también están en el curso de matemáticas.
¿Está más de un tercio de los estudiantes tomando el curso de matemáticas?  Get 2.1.31 exercise solution

En los ejercicios 32 al 35, sea X = {1, 2} y Y = {a, b, c}. Liste los elementos
de cada conjunto.


 En los ejercicios 36 al 39, sea X = {1, 2}, Y = {a} y Z = {α,β}. Liste los elementos de cada conjunto.
 


En los ejercicios 40 al 43, liste todas las particiones del conjunto.

En los ejercicios 44 al 47, diga si es verdadero o falso.

 En los ejercicios 48 al 52, determine si cada par de conjuntos es igual.



53. Liste los miembros de P({a, b}). ¿Cuáles son los subconjuntos propios de {a, b}? Get 2.1.53 exercise solution


54. Liste los miembros de P ({a, b, c, d}). ¿Cuáles son los subconjuntos propios de {a, b, c, d}? Get 2.1.54 exercise solution


55. Si X tiene 10 elementos, ¿cuántos tiene P (X)? ¿Cuántos subconjuntos propios tiene X?

56. Si X tiene n miembros, ¿cuántos subconjuntos propios tiene X? Get 2.1.56 exercise solution

57. Si X y Y son conjuntos no vacíos y X × Y = Y × X, ¿qué se concluye
acerca de X y Y? Get 2.1.57 exercise solution
 
En cada uno de los ejercicios 58 al 70, si la afirmación es verdadera, pruébela; de otra manera, dé un contraejemplo. Los conjuntos X, Y y Z son subconjuntos de un conjunto universal. Suponga que el universo para los productos cartesianos es U × U.

58. Para todos los conjuntos X y Y, x es un subconjunto de Y o Y es un subconjunto de X. Get 2.1.58 exercise solution

59. X ∩ (Y − Z) = (X ∩ Y ) − (X ∩ Z) para todos los conjuntos X, Y y Z.  Get 2.1.59 exercise solution

60. (X − Y ) ∩ (Y − X) = ∅ para todos los conjuntos X y Y. Get 2.1.60 exercise solution

61. X − (Y ∪ Z) = (X − Y ) ∪ Z para todos los conjuntos X, Y y Z.  Get 2.1.61 exercise solution



 En los ejercicios 71 al 74, ¿qué relación debe cumplirse entre los conjuntos A y B para que la condición enunciada sea verdadera?


 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto
75. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5}, encuentre A B.  Get 2.1.75 exercise solution

76. Describa la diferencia simétrica de los conjuntos A y B en palabras. Get 2.1.76 exercise solution

77. A partir de un universo U, describa A A, A A , U A y ∅ A.  Get 2.1.77 exercise solution

78. Pruebe o desapruebe: Si A, B y C son conjuntos que satisfacen A C = B C, entonces A = B.  Get 2.1.78 exercise solution

79. Pruebe que
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Get 2.1.79 exercise solution

80. Encuentre una fórmula para |A ∪ B ∪ C| similar a la fórmula del ejercicio 79. Demuestre que su fórmula se cumple para todos los conjuntos A, B y C. Get 2.1.80 exercise solution

81. Sea C un círculo y sea D el conjunto de todos los diámetros de C.
¿Qué es ∩D? (Aquí “diámetros” significa un segmento de recta que pasa por el centro y tiene sus puntos terminales en la circunferencia del círculo). Get 2.1.81 exercise solution

 82. Sea P el conjunto de enteros mayores que 1. Para i ≥ 2, defina Xi = {ik | k ≥ 2, k ∈ P}.



 83. Pruebe las leyes asociativas para conjuntos [Teorema 2.1.12, inciso a)].  Get 2.1.83 exercise solution

 84. Pruebe las leyes conmutativas para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso b)]. Get 2.1.84 exercise solution

85. Pruebe la segunda ley distributiva para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso c)]. Get 2.1.85 exercise solution

86. Pruebe las leyes de identidad para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso d)]. Get 2.1.86 exercise solution

87. Pruebe las leyes de complementos para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso e)]. Get 2.1.87 exercise solution

88. Pruebe las leyes de idempotencia para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso f)].  Get 2.1.88 exercise solution

89. Pruebe las leyes de acotación para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso g)].  Get 2.1.89 exercise solution

90. Pruebe las leyes de absorción para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso h)].  Get 2.1.90 exercise solution

91. Pruebe las leyes de involución para conjuntos [teorema 2.1.12, incisoi)]. Get 2.1.91 exercise solution

92. Pruebe las leyes 0/1 para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso j)].  Get 2.1.92 exercise solution

93. Pruebe las leyes de De Morgan para conjuntos [teorema 2.1.12, inciso k)].  Get 2.1.93 exercise solution

94. Use la inducción para probar que si X1, . . . , Xn y X son conjuntos, entonces

 95. Use la inducción para probar que si X1, . . . , Xn son conjuntos, entonces |X1 × X2 ×· · ·× Xn| = |X1| · |X2| · · · |Xn|.  Get 2.1.95 exercise solution

96. Pruebe que el número de subconjuntos S de {1, 2, . . . , n}, con |S| par es 2n−1, n ≥ 1.Get 2.1.96 exercise solution




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