Soluciones Ejercicios Capítulo 1.8 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

1. Demuestre que un importe postal de 6 centavos o más se logra usando sólo timbres de 2 y 7 centavos.  Get 1.8.1 exercise solution

2. Demuestre que el importe postal de 24 centavos o más se logra usando sólo timbres de 5 y 7 centavos.

3. Utilice la forma
Si S(n) es verdadera, entonces S(n + 1) es verdadera
del paso inductivo para probar la afirmación del ejemplo 1.8.1.

4. Utilice la forma
Si S(n) es verdadera, entonces S(n + 1) es verdadera del paso inductivo para probar la afirmación en el ejercicio 1.

5. Utilice la forma Si S(n) es verdadera, entonces S(n + 1) es verdadera del paso inductivo para probar la afirmación en el ejercicio 2.

Los ejercicios 6 y 7 se refieren a la secuencia c1, c2,... definida por las
ecuaciones
c1= 0,
cn = c n/2 + n2 para toda n > 1.

6. Calcule c2, c3, c4 y c5.

7. Pruebe que cn < 4n2 para toda n ≥ 1.


Los ejercicios 8 al 10 se refieren a la secuencia c1, c2, . . . definida porlas ecuaciones
c1 = 0, para toda n > 1.

8. Calcule c2, c3, c4 y c5.

9. Pruebe que cn
≤ 4(n – 1)2 para toda n ≥ 1.

10. Pruebe que (n+1)2/8 < Cn para toda n ≥ 2. Pista: Los pasos base son n = 2, 3. Además n/2 ≥ (n − 1)/2 para toda n. Get 1.8.10 exercise solution

11. Suponga que se tienen dos pilas de cartas cada una con n cartas.
Dos jugadores juegan el siguiente juego. Cada jugador, en su turno, elige una pila y quita cualquier número de cartas, pero al menos una, de la pila elegida. El jugador que quita la última carta gana
el juego. Muestre que el segundo jugador siempre puede ganar.  Get 1.8.11 exercise solution

En los ejercicios 12 al 17, encuentre el cociente q y el residuo r como
en el teorema 1.8.5 cuando n se divide entre d.
12. n = 47, d = 9  Get 1.8.12 exercise solution

13. n = −47, d =9 Get 1.8.13 exercise solution

14. n = 7, d = 9 Get 1.8.14 exercise solution

15. n = −7, d = 9 Get 1.8.15 exercise solution

16. n = 0, d = 9 Get 1.8.16 exercise solution

17. n = 47, d = 47 Get 1.8.17 exercise solution

Los egipcios de la antigüedad expresaban una fracción como la suma de
fracciones cuyos numeradores eran 1. Por ejemplo, 5/6 se expresaba como

Decimos que la fracción p/q, donde p y q son enteros positivos, está en
forma egipcia si


donde n1, n2, . . . , nk son enteros positivos que satisfacen n1 < n2 < . . . < nk.

18. Demuestre que la representación (1.8.2) no tiene que ser única representando 5/6 de dos maneras diferentes.  Get 1.8.18 exercise solution

19. Demuestre que la representación (1.8.2) nunca es única. Get 1.8.19 exercise solution

20. Siguiendo los pasos descritos, proporcione una prueba por inducción sobre p para demostrar que toda fracción p/q con 0 < p/q < 1 puede expresarse en forma egipcia.
a) Verifique el paso base (p = 1).
b) Suponga que 0 < p/q < 1 y que todas las fracciones i/q , con 1 ≤ i < p y q arbitrarios, se pueden expresar en la forma egipcia.
Seleccione el menor entero positivo n con 1/n ≤ p/q. Demuestre que


c) Demuestre que si p/q = 1/n, la prueba queda completa.


21. Use el método del ejercicio anterior para encontrar formas egipcias para 3/8, 5/7 y 3/19.

22. Demuestre que cualquier fracción p/q, donde p y q son enteros positivos, se puede escribir en la forma egipcia. (No se está suponiendo que p/q < 1).

23. Demuestre que cualquier tablero deficiente de n × n se puede enlosar con trominos si n es impar, n > 5 y 3 divide a n2 – 1. Sugerencia: Use las ideas mencionadas en la sugerencia del ejercicio 33, sección 1.7.  Get 1.8.23 exercise solution

24. Demuestre que cualquier tablero deficiente de n × n se puede enlosar con trominos si n es par, n > 8 y 3 divide a n2 – 1. Sugerencia: Tome como base el hecho de que un tablero deficiente de 4 × 4 se puede enlosar con trominos; ejercicios 23 y 31, sección 1.7. Get 1.8.24 exercise solution

25. Proporcione una prueba alternativa de la existencia de q y r en el teorema 1.8.5 para el caso n ≥ 0; para ello demuestre primero que el conjunto X de todos los enteros k donde dk > n es un conjunto
no vacío de enteros no negativos, después demuestre que X tiene un elemento menor, y por último analice el elemento menor de X. Get 1.8.25 exercise solution

26. Proporcione una prueba alternativa de la existencia de q y r en el teorema 1.8.5 usando la forma de inducción matemática donde el paso inductivo es “si S(n) es verdadera, entonces S(n + 1) es verdadera”.
Sugerencia: Primero suponga que n > 0. Maneje el caso n = 0 por separado. Reduzca el caso n < 0 al caso n > 0.  Get 1.8.26 exercise solution

27. Suponga la forma de inducción matemática donde el paso inductivo es “si S(n) es verdadera, entonces S(n + 1) es verdadera”.
Pruebe la propiedad del buen orden.  Get 1.8.27 exercise solution

28. Suponga la propiedad del buen orden. Pruebe la forma fuerte de inducción matemática. Get 1.8.28 exercise solution

29. Demuestre que la forma fuerte de inducción matemática y la forma de inducción matemática donde el paso inductivo es “si S(n) es verdadera, entonces S(n + 1) es verdadera” son equivalentes. Es decir,suponga la forma fuerte de inducción matemática y pruebe la forma alternativa; después suponga la forma alternativa y pruebe la forma fuerte de inducción matemática.












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Soluciones Ejercicios Capítulo 1.7 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

En los ejercicios 1 al 11, mediante inducción matemática, verifique que cada ecuación es verdadera para todo entero positivo n.




Get 1.7.1 exercise solution

Get 1.7.2 exercise solution

Get 1.7.3 exercise solution

Get 1.7.4 exercise solution

Get 1.7.5 exercise solution

Get 1.7.6 exercise solution

Get 1.7.7 exercise solution

Get 1.7.8 exercise solution

Get 1.7.9 exercise solution

Get 1.7.10 exercise solution

Get 1.7.11 exercise solution




En los ejercicios 12 al 17, use inducción para verificar la desigualdad.


Get 1.7.12 exercise solution

Get 1.7.13 exercise solution

Get 1.7.14 exercise solution

Get 1.7.15 exercise solution




para toda n ≥ 1 y 0 < r < 1. Sugerencia: Use el resultado del ejercicio anterior, compare la suma de los términos en



en la diagonal (    ) con la suma de los términos por columna.
Get 1.7.16 exercise solution

Get 1.7.17 exercise solution

Get 1.7.18 exercise solution

Get 1.7.19 exercise solution


20. Pruebe que



para toda n ≥ 1.

En los ejercicios 21 al 24, use la inducción para probar la afirmación. Get 1.7.20 exercise solution

21. 7n − 1 es divisible entre 6, para toda n ≥ 1. Get 1.7.21 exercise solution

22. 11n − 6 es divisible entre 5, para toda n ≥ 1. Get 1.7.22 exercise solution

23. 6·7n – 2·3n es divisible entre 4, para toda n ≥ 1. Get 1.7.23 exercise solution

24. 3n + 7n – 2 es divisible entre 8, para toda n ≥ 1. Get 1.7.24 exercise solution

25. Experimentando con valores pequeños de n, adivine una fórmula para la suma




después use inducción para verificar su fórmula. Get 1.7.25 exercise solution


27. Demuestre que las regiones del ejercicio anterior pueden colorearse de rojo y verde de modo que no haya dos regiones que comparten una orilla que sean del mismo color. Get 1.7.27 exercise solution

28. Dados n ceros y n unos distribuidos de cualquier manera alrededor de un círculo (vea la figura siguiente), demuestre, por inducción sobre n, que es posible comenzar en algún número y proceder en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del círculo hasta la posición original de inicio, de manera que en cualquier punto durante el ciclo se hayan visto al menos la misma cantidad de ceros que de unos. En la siguiente figura, un punto de inicio posible está marcado con una flecha.


 
Get 1.7.28 exercise solution

29. Dé un enlosado de un tablero de 5 × 5 con trominos en los que falte el cuadro superior izquierdo. Get 1.7.29 exercise solution

30. Demuestre un tablero deficiente de 5 × 5 que es imposible enlosar con trominos. Explique por qué no se puede enlosar. Get 1.7.30 exercise solution

31. Demuestre que cualquier tablero de (2i) × (3j), donde i y j son enteros positivos, sin cuadro faltante, se puede enlosar con trominos. Get 1.7.31 exercise solution

32. Demuestre que cualquier tablero deficiente de 7 × 7 se puede enlosar con trominos. Get 1.7.32 exercise solution

33. Demuestre que cualquier tablero deficiente de 11 × 11 se puede enlosar con trominos. Sugerencia: Subdivida el tablero en tableros que se traslapan de 7 × 7 y 5 × 5 y dos tableros de 6 × 4. Después
remítase a los ejercicios 29, 31 y 32. Get 1.7.33 exercise solution

34. Este ejercicio y el siguiente se deben a Anthony Quass. Una forma- L de 2n × 2n, n ≥ 0 es una figura de la forma



sin cuadros faltantes. Demuestre que cualquier forma-L de 2n × 2n se puede enlosar con trominos. Get 1.7.34 exercise solution

35. Use el ejercicio anterior para dar una prueba diferente de que cualquier tablero deficiente de 2n × 2n se puede enlosar con trominos.
Un tromino recto es un objeto hecho de tres cuadros en fila:

Get 1.7.35 exercise solution

36. ¿Qué tableros deficientes de 4 × 4 se pueden enlosar con trominos rectos? Sugerencia: Numere los cuadros del tablero de 4 × 4, de izquierda a derecha y de arriba abajo: 1, 2, 3, 1, 2, 3, etcétera. Observe que si existe un enlosado, cada tromino recto cubre exactamente un 2 y exactamente un 3. Get 1.7.36 exercise solution

37. ¿Qué tableros deficientes de 5 × 5 se pueden enlosar con trominos rectos? Get 1.7.37 exercise solution

38. ¿Qué tableros deficientes de 8 × 8 se pueden enlosar con trominos rectos? Get 1.7.38 exercise solution

39. Use un ciclo invariante para probar que cuando el seudocódigo
i=1
pow=1
while(i ≤ n){
pow = pow * a
i=i+1
}
termina, pow es igual a an. Get 1.7.39 exercise solution

40. Pruebe que, después de que termina el siguiente seudocódigo, a[h] = val; para toda p, i ≤ p < h, a[p] < val; y para toda p, h < p ≤ j, a[p] ≥ val. En particular, val está en la posición en el arreglo
a[i], . . . , a[j] donde estaría si el arreglo fuera ordenado.

val = a[i ]
h = i
for k = i + 1 to j
if (a[k] < val) {
h = h + 1
swap(a[h], a[k])
}
swap(a[i ], a[h])

Sugerencia: Use el ciclo invariante: para toda p, i < p ≤ h, a[p] < val; y para toda p, h < p < k, a[p] ≥ val. (Un dibujo ayuda).
Esta técnica se llama particionar. Esta versión particular se debe a Nico Lomuto. Las particiones se emplean para encontrar el k-ésimo, elemento más pequeño en cualquier arreglo y para construir un algoritmo para ordenar llamado quicksort.
Un septomino en 3D es un cubo de tres dimensiones de 2 × 2 × 2 sin una esquina de 1 × 1 × 1. Un cubo deficiente es un cubo de k × k × k sin un cubo de 1 × 1 × 1. Get 1.7.40 exercise solution

41. Pruebe que un cubo deficiente de 2n × 2n × 2n se puede enlosar con septominos en 3D. Get 1.7.41 exercise solution

42. Demuestre que si un cubo deficiente de k × k × k se puede enlosar con septominos en 3D, entonces 7 divide uno de los k−1, k−2, k−4. Get 1.7.42 exercise solution

43. Suponga que Sn
= (n + 2)(n – 1) se propone (incorrectamente) como
fórmula para
2 + 4 + . . . + 2n.
a) Demuestre que el paso inductivo se satisface pero que el paso
base falla.
★ b) Si Sn
es una expresión arbitraria que satisface el paso inductivo, ¿qué forma debe tener Sn ? Get 1.7.43 exercise solution

44. ¿Qué está mal en el siguiente argumento, que se supone que prueba que cualesquiera dos enteros positivos son iguales?
Se usa inducción sobre n para “probar” que si a y b son enteros positivos y n = máx{a, b}, entonces a= b.
Paso base (n = 1). Si a y b son enteros positivos y 1 = máx{a, b}, debe tenerse a = b = 1.
Paso inductivo Suponga que si a y b son enteros positivos y n= máx{a , b }, entonces a = b . Suponga que a y b son enteros positivos y que n + 1 = máx{a, b}. Ahora n = máx{a–1, b–1}.
Por la hipótesis inductiva, a–1 = b–1. Por lo tanto, a = b.
Como se verificaron el paso base y el paso inductivo, por el principio de inducción matemática, ¡cualesquiera dos enteros positivos son iguales! Get 1.7.44 exercise solution

45. ¿Qué está mal en la siguiente “prueba” de que

 




para toda n ≥ 2. Esta desigualdad da una prueba correcta de la afirmación del ejercicio anterior.
En los ejercicios 47 al 51, suponga que n > 1 personas se colocan en un campo (plano euclidiano) de manera que cada una tiene un vecino más cercano único. Aún más, suponga que cada persona tiene un pastel que lanza a su vecino más cercano. Un sobreviviente es una persona a la que no le pega un pastel.
Get 1.7.45 exercise solution

Get 1.7.46 exercise solution


47. Proporcione un ejemplo para mostrar que si n es par, puede no haber un sobreviviente. Get 1.7.47 exercise solution

48. Dé un ejemplo para demostrar que puede haber más de un sobreviviente. Get 1.7.48 exercise solution

49. [Carmony] Use inducción sobre n para demostrar que si n es impar, siempre habrá al menos un sobreviviente. Get 1.7.49 exercise solution

50. Pruebe o desapruebe: Si n es impar, una de las dos personas más separadas es un sobreviviente. Get 1.7.50 exercise solution

51. Pruebe o desapruebe: Si n es impar, la persona que lanza un pastel la mayor distancia es un sobreviviente.
Los ejercicios 52 al 55 manejan conjuntos convexos planos. Un conjunto convexo plano, en adelante abreviado “conjunto convexo”, es un conjunto no vacío X en el plano que tiene la propiedad de que si x y y son cualesquiera dos puntos en X, el segmento de recta de x a y también está en X. Las siguientes figuras ilustran esto.


Get 1.7.51 exercise solution


52. Pruebe que si X y Y son conjuntos convexos y X ∩ Y (los puntos comunes a X y Y) es no vacío, X ∩ Y es un conjunto convexo. Get 1.7.52 exercise solution

53. Suponga que X1, X2, X3, X4 son conjuntos convexos, cada tres de los cuales tienen un punto en común. Pruebe que los cuatro tienen un punto en común. Get 1.7.53 exercise solution

54. Pruebe el Teorema de Helly: Suponga que X1, X2, . . . , Xn, n ≥ 4, son conjuntos convexos, cada tres de los cuales tienen un punto en común. Pruebe que los n conjuntos tienen un punto en común. Get 1.7.54 exercise solution

55. Suponga que n ≥ 3 puntos en el plano tienen la propiedad de que cada tres de ellos están contenidos en un círculo de radio 1. Pruebe que existe un círculo de radio 1 que contiene a todos los puntos. Get 1.7.55 exercise solution

56. Si a y b son números reales con a < b, un intervalo abierto (a, b) es el conjunto de números reales x tales que a < x < b. Pruebe que si I1, . . . , In es un conjunto de n ≥ 2 intervalos abiertos tales que
cada par tiene una intersección no vacía, entonces

 I1 ∩ I2 ∩ · · · ∩ In

 (los puntos comunes a I1, . . . , In) es no vacío.

Flavius Josephus era un soldado e historiador judío que vivió en el siglo I (vea [Graham, 1994; Schumer]). Era uno de los líderes de una revuelta judía contra Roma en el año 66. El siguiente año, se encontraba entre un grupo de soldados atrapados que decidieron suicidarse antes de que los capturaran. Una versión de la historia dice que, antes que ser capturados, formaron un círculo y procedieron a matar a cada tercera persona alrededor del círculo. Josephus, que tenía conocimientos
de matemáticas discretas, se dio cuenta dónde debían pararse él y un amigo para evitar que los mataran.
Los ejercicios 57 al 63 se refieren a una variante del problema de Josephus en el que se elimina a una persona cada dos. Se supone que n personas se colocan en un círculo y se numeran 1, 2, . . . , n en el
sentido de las manecillas del reloj. Se elimina 2, se elimina 4, etcétera, hasta que hay un sobreviviente, denotado por J(n). Get 1.7.56 exercise solution

57. Calcule J(4). Get 1.7.57 exercise solution

58. Calcule J(6). Get 1.7.58 exercise solution

59. Calcule J(10). Get 1.7.59 exercise solution

60. Use la inducción para demostrar que J(2i) = 1 para toda i ≥ 1. Get 1.7.60 exercise solution

61. Con un valor de n ≥ 2, sea 2i la potencia más grande de 2 tal que 2i ≤ n. (Ejemplos: Si n = 10, i = 3. Si n = 16, i = 4.) Sea j = n – 2i. (Después de restar de n, 2i, la potencia más grande de 2 menor
o igual que n, j es lo que queda.) Usando el resultado del ejerejercicio 60 o de otra manera, pruebe que J(n) = 2j + 1. Get 1.7.61 exercise solution

62. Use el resultado del ejercicio 61 para calcular J(1000). Get 1.7.62 exercise solution

63. Use el resultado del ejercicio 61 para calcular J (100,000).

Si a1, a2, . . . es una secuencia, se define el operador diferencia Δ como

an = an+1 − an. Get 1.7.63 exercise solution

La fórmula del ejercicio 64 se utiliza en ocasiones para encontrar una fórmula para una suma en lugar de usar la inducción para probar una fórmula para la suma (vea los ejercicios 65 al 67).

La fórmula del ejercicio 64 se utiliza en ocasiones para encontrar una fórmula para una suma en lugar de usar la inducción para probar una fórmula para la suma (vea los ejercicios 65 al 67).

64. Suponga que Δan = bn. Demuestre que
b1 + b2 +· · ·+bn = an+1 − a1.

Esta fórmula es análoga a la fórmula de cálculo
g(d)−g(c),

donde Dg = f (D es el operador derivada). En la fórmula de cálculo, la suma se sustituye por la integral y Δ se sustituye por la derivada. Get 1.7.64 exercise solution

65. Sea an = n2, calcule Δan. Use el ejercicio 64 para encontrar una fórmula para 1 + 2 + 3 +. . .+n. Get 1.7.65 exercise solution

66. Use el ejercicio 64 par encontrar una fórmula para
1(1!) + 2(2!) +· · ·+n(n!).

(Compare con el ejercicio 3). Get 1.7.66 exercise solution

67. Use el ejercicio 64 para encontrar una fórmula para




 Get 1.7.67 exercise solution

68. Pruebe que si p y q son divisibles entre k, entonces p + q es divisible entre k. Get 1.7.68 exercise solution









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Soluciones Ejercicios Capítulo 1.6 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

1. Escriba la tabla de verdad que demuestra (1.6.1). Get 1.6.1 exercise solution

Use la resolución para derivar cada combinación en los ejercicios 2 al 6. Sugerencia: En los ejercicios 5 y 6, sustituya→ y↔ con expresiones lógicamente equivalentes que usan o e y.
 
Get 1.6.2 exercise solution

Get 1.6.3 exercise solution



Get 1.6.4 exercise solution

Get 1.6.5 exercise solution

Get 1.6.6 exercise solution

7. Use resolución y prueba por contradicción para demostrar de nuevo los ejercicios 2 al 6. Get 1.6.7 exercise solution

8. Use resolución y prueba por contradicción para demostrar de nuevo el ejemplo 1.6.6. Get 1.6.8 exercise solution













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Soluciones Ejercicios Capítulo 1.5 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

1. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.1) de un axioma de la geometría euclidiana. Get 1.5.1 exercise solution

2. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.2) de un axioma del sistema de los números reales. Get 1.5.2 exercise solution

3. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.1) de una definición en la geometría euclidiana. Get 1.5.3 exercise solution

4. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.2) de una definición en el sistema de los números reales. Get 1.5.4 exercise solution

5. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.3) de un teorema en la geometría euclidiana. Get 1.5.5 exercise solution

6. Dé un ejemplo (diferente a los del ejemplo 1.5.5) de un teorema en el sistema de los números reales. Get 1.5.6 exercise solution

7. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son pares, entonces m + n es par. Get 1.5.7 exercise solution

8. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son impares, entonces m + n es par. Get 1.5.8 exercise solution

9. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son pares, entonces mn es par. Get 1.5.9 exercise solution

10. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m y n son impares, entonces mn es impar. Get 1.5.10 exercise solution

11. Pruebe que para todos los enteros m y n, si m es par y n es impar, entonces mn es par. Get 1.5.11 exercise solution

12. Si a y b son números reales, se define máx{a, b} como el máximo entre a y b o el valor común si son iguales. Pruebe que para todos
los números reales d, d1, d2, x,
si d = máx{d1, d2} y x ≥ d, entonces x ≥ d1 y x ≥ d2. Get 1.5.12 exercise solution

13. Justifique cada paso de la siguiente prueba directa, que muestra que si x es un número real, entonces x · 0 = 0. Suponga que los siguientes son teoremas previos: Si a, b y c son números reales, entonces b + 0 = b y a(b + c) = ab + ac. Si a + b = a + c, entonces
b = c.
Demostración x · 0 + 0 = x · 0 = x · (0 + 0) = x · 0 + x · 0; por
lo tanto, x · 0 = 0. Get 1.5.13 exercise solution

14. Justifique cada paso de la siguiente demostración por contradicción, que muestra que si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0. Suponga que si a, b y c son números reales con ab = ac y a <> 0, entonces, b = c.
Demostración Suponga que xy = 0 y x <>0 y y <> 0. Como xy= 0 = x · 0 y x 0, y = 0, que es una contradicción. Get 1.5.14 exercise solution

15. Demuestre, por contradicción, que si se colocan 100 pelotas en nueve urnas, alguna urna contiene 12 pelotas o más. Get 1.5.15 exercise solution

16. Demuestre, por contradicción, que si se distribuyen 40 monedas en nueve bolsas de manera que cada bolsa contenga al menos una moneda, al menos dos bolsas contienen el mismo número de monedas. Get 1.5.16 exercise solution


17. Sea






el promedio de los números reales s1, . . . , sn. Demuestre, por contradicción,
que existe i tal que si ≥ A. Get 1.5.17 exercise solution


18. Sea





el promedio de los números reales s1, . . . , sn. Pruebe o desapruebe:
Existe i tal que si > A. ¿Qué técnica de demostración utilizó? Get 1.5.18 exercise solution


19. Sea




el promedio de los números reales s1, . . . , sn. Suponga que existe i tal que si < A. Pruebe o desapruebe: Existe j tal que sj > A. ¿Qué técnica de demostración usó? Get 1.5.19 exercise solution

20. Utilice la prueba por casos para demostrar que |xy| = |x||y| para todos los números reales x y y. Get 1.5.20 exercise solution

21. Utilice la prueba por casos para demostrar que |x + y| ≤ |x| + |y| para todos los números reales x y y. Get 1.5.21 exercise solution

22. Defina el signo del número real x, sgn(x), como


Use la prueba por casos para demostrar que |x| = sgn(x)x para todo número real x.
Get 1.5.22 exercise solution

23. Utilice la prueba por casos para demostrar que sgn(xy) = sgn(x)sgn(y) para todos los números reales x y y (sgn se define en el ejercicio 22).  Get 1.5.23 exercise solution

24. Use los ejercicios 22 y 23 para dar otra prueba de que |xy| = |x||y| para todos los números reales x y y. Get 1.5.24 exercise solution

25. Use la prueba por casos para demostrar que máx{x, y} + mín{x,y} = x + y para todos los números reales x y y. Get 1.5.25 exercise solution

26. Utilice la demostración por casos para probar que


para todos los números reales x y y. Get 1.5.26 exercise solution


27. Utilice la demostración por casos para probar que


para todos los números reales x y y. Get 1.5.27 exercise solution

28. Utilice los ejercicios 26 y 27 para probar que máx{x, y} + mín{x,y} = x + y para todos los números reales x y y. Get 1.5.28 exercise solution

29. Sea s1, . . . , sn una secuencia‡ que satisface
a) s1 es un entero positivo y sn es un entero negativo.
b) para toda i, 1 ≤ i < n, si+1 = si+ 1 o si+1= si – 1.
Pruebe que existe i, 1 < i < n, tal que si = 0.

Los estudiantes de cálculo reconocerán este ejercicio como la versión discreta del teorema de cálculo: Si f es una función continua sobre [a, b] y f(a) > 0 y f(b) < 0, entonces f(c) = 0 para alguna c en (a, b). Existen pruebas similares de las dos afirmaciones. Get 1.5.29 exercise solution

30. Desapruebe la afirmación: Para todo entero positivo n, n2 ≤ 2n.
Formule con símbolos los argumentos de los ejercicios 31 al 35 y determine si cada uno es válido. Sean p: Estudio duro. q: Obtengo 10. r: Me hago rico. Get 1.5.30 exercise solution

31. Si estudio duro, entonces obtengo 10.
Estudio duro.
∴ obtengo 10. Get 1.5.31 exercise solution

32. Si estudio duro, entonces obtengo 10.
Si no me hago rico, entonces no obtengo 10.
∴ Me hago rico. Get 1.5.32 exercise solution

33. Estudio duro si y sólo si me hago rico.
Me hago rico
∴ estudio duro. Get 1.5.33 exercise solution


34. Si estudio duro o me hago rico, entonces obtengo 10.
Obtengo 10.
∴ si no estudio duro, entonces me hago rico. Get 1.5.34 exercise solution

35. Si estudio mucho, entonces obtengo 10 o me hago rico.
No obtengo 10 y no me hago rico.
∴ no estudio duro. Get 1.5.35 exercise solution

En los ejercicios 36 al 40, escriba el argumento en palabras y determine si cada argumento es válido. Sean
p: 4 megabytes es mejor que sin memoria.
q: Compraremos más memoria.
r: Compraremos una computadora nueva.



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Get 1.5.37 exercise solution

Get 1.5.38 exercise solution

Get 1.5.39 exercise solution

Get 1.5.40 exercise solution

Determine si cada argumento en los ejercicios 41 al 45 es válido.



Get 1.5.41 exercise solution

Get 1.5.42 exercise solution

Get 1.5.43 exercise solution

Get 1.5.44 exercise solution

Get 1.5.45 exercise solution

46. Demuestre que si
p1, p2/∴ p y p, p3, . . . , pn/∴ c

son argumentos válidos, el argumento
p1, p2, . . . , pn/∴ c
también es válido. Get 1.5.46 exercise solution

47. Comente el siguiente argumento:
Almacenar en disco flexible es mejor que nada.
Nada es mejor que un disco duro.
∴ Almacenar en disco flexible es mejor que un disco duro. Get 1.5.47 exercise solution

48. Analice los siguientes comentarios del crítico de cine Roger Ebert:
Ninguna buena película es demasiado larga. Ninguna mala película es demasiado corta. “Amor en realidad” es buena, pero es demasiado larga.
Para cada argumento en los ejercicios 49 al 52, diga qué regla de inferencia se usó. Get 1.5.48 exercise solution

49. La pesca es un deporte popular. Por lo tanto, pescar es un deporte popular o el lacrosse es muy popular en California. Get 1.5.49 exercise solution

50. Si la pesca es un deporte popular, entonces el lacrosse es muy popular en California. La pesca es un deporte popular. Por lo tanto, el lacrosse es muy popular en California. Get 1.5.50 exercise solution

51. La pesca es un deporte popular o el lacrosse es muy popular en California. El lacrosse no es muy popular en California. Por lo tanto, la pesca es un deporte popular. Get 1.5.51 exercise solution

52. Todo número racional es de la forma p/q, donde p y q son enteros. Por lo tanto, 9.345 es de la forma p/q. Get 1.5.52 exercise solution

En los ejercicios 53 al 58, dé un argumento usando las reglas de inferencia para demostrar que la conclusión se deriva de las hipótesis.

53. Hipótesis: Si el auto tiene gasolina, entonces iré a la tienda. Si voy a la tienda, entonces compraré un refresco. El auto tiene gasolina.
Conclusión: Compraré un refresco. Get 1.5.53 exercise solution

54. Hipótesis: Si el auto tiene gasolina, entonces iré a la tienda. Si voy a la tienda, entonces compararé un refresco. No compro un refresco.
Conclusión: El auto no tiene gasolina o la transmisión del auto está defectuosa. Get 1.5.54 exercise solution

55. Hipótesis: Si Julio puede cantar o Daniel puede jugar, entonces compraré el CD. Julio puede cantar. Compraré el reproductor de CD. Conclusión: Compraré el CD y el reproductor de CD. Get 1.5.55 exercise solution

56. Hipótesis: Todos en clase tienen una calculadora que grafica. Todos los que tienen calculadora que grafica entienden las funciones trigonométricas. Conclusión: Rafael, que está en la clase, entiende las funciones trigonométricas. Get 1.5.56 exercise solution

57. Hipótesis: Ken, un miembro de los Titanes, puede batear lejos. Todos los que pueden batear lejos pueden ganar mucho dinero. Conclusión: Algún miembro de los Titanes puede ganar mucho dinero. Get 1.5.57 exercise solution

58. Hipótesis: Todos en la clase de matemáticas discretas aman las demostraciones.
Alguien en la clase de matemáticas discretas nunca ha tomado cálculo. Conclusión: Alguien que ama las demostraciones nunca ha tomado cálculo. Get 1.5.58 exercise solution

59. Demuestre que el Modus tollens (vea la figura 1.5.1) es válido. Get 1.5.59 exercise solution

60. Demuestre que la Suma (vea la figura 1.5.1) es válida. Get 1.5.60 exercise solution

61. Demuestre que la Simplificación (vea la figura 1.5.1) es válida. Get 1.5.61 exercise solution

62. Demuestre que la Conjunción (vea la figura 1.5.1) es válida. Get 1.5.62 exercise solution

63. Demuestre que el Silogismo Hipotético (vea la figura 1.5.1) es válido. Get 1.5.63 exercise solution

64. Demuestre que el Silogismo Disyuntivo (vea la figura 1.5.1) es válido. Get 1.5.64 exercise solution

65. Demuestre que la generalización universal (vea la figura 1.5.2) es válida. Get 1.5.65 exercise solution

66. Demuestre que la particularización existencial (vea la figura 1.5.2) es válida. Get 1.5.66 exercise solution

67. Demuestre que la generalización existencial (vea la figura 1.5.2) es válida. Get 1.5.67 exercise solution










































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Soluciones Ejercicios Capítulo 1.4 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

Sea T(x, y) la función proposicional “x es más alto que y, y x y”. El
dominio de discurso consiste en tres estudiantes: Gerardo, que mide 5
pies 11 pulgadas; Ernesto, que mide 5 pies 6 pulgadas, y Martín que
mide 6 pies. Escriba cada proposición en los ejercicios 1 al 4 en palabras
y diga si ésta es verdadera o falsa.


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5. Escriba la negación de cada proposición en los ejercicios del 1 al 4 en palabras y con símbolos.
Sea T(x, y) la función proposicional “x es más alto o de la misma altura que y”. El dominio de discurso consiste en tres estudiantes: Gerardo, que mide 5 pies 11 pulgadas; Ernesto, que mide 5 pies 6 pulgadas, y Martín que mide 6 pies.  Get 1.4.5 exercise solution

Escriba cada proposición en los ejercicios 6 al 9 en palabras y diga si ésta es verdadera o falsa.


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10. Escriba la negación de cada proposición en los ejercicios 6 al 9 en palabras y con símbolos.
 Sea L(x, y) la función proposicional “x ama a y”. El dominio de discurso es el conjunto de todas las personas amantes. Escriba cada proposición en los ejercicios 11 al 14 con símbolos. ¿Cuál piensa que sea verdadera?

11. Alguien ama a todos. Get 1.4.11 exercise solution

12. Todos aman a todos. Get 1.4.12 exercise solution

13. Alguien ama a alguien. Get 1.4.13 exercise solution

14. Todos aman a alguien. Get 1.4.14 exercise solution

15. Escriba la negación de cada proposición en los ejercicios 11 al 14 en palabras y con símbolos. Get 1.4.15 exercise solution

Sea P(x, y) la función proposicional x ≥ y. El dominio de discurso es el conjunto de todos los enteros positivos. Diga si cada proposición en los ejercicios 16 al 19 es verdadera o falsa.


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20. Escriba la negación de cada proposición en los ejercicios 16 al 19. Get 1.4.20 exercise solution

Determine el valor de verdad de cada afirmación en los ejercicios 21 al 38. El dominio de discurso es el conjunto de números reales. Justifique sus respuestas.
 
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39. Escriba la negación de cada proposición en los ejercicios 21 al 38. Get 1.4.39 exercise solution

40. Suponga que P es una función proposicional cuyo dominio de discurso consiste en los elementos d1, ..., dn. Escriba el seudocódigo que determina si
∃x∀y P(x, y)
es verdadera o falsa. Get 1.4.40 exercise solution

41. Suponga que P es una función proposicional cuyo dominio de discurso consiste en los elementos d1, ..., dn. Escriba el seudocódigo que determina si
∃x∃y P(x, y)
es verdadera o falsa.  Get 1.4.41 exercise solution

42. Explique cómo determina el juego de lógica (ejemplo 1.4.15) si cada proposición en los ejercicios 21 al 38 es verdadera o falsa. Get 1.4.42 exercise solution

43. Use el juego de lógica (ejemplo 1.4.15) para determinar si la proposición ∀x∀y∃z((z > x) ∧ (z < y)) es verdadera o falsa. El dominio de discurso es el conjunto de todos los enteros. Get 1.4.43 exercise solution

44. Use el juego de lógica (ejemplo 1.4.15) para determinar si la proposición ∀x∀y∃z((z < x) ∧ (z < y)) es verdadera o falsa. El dominio de discurso es el conjunto de todos los enteros. Get 1.4.44 exercise solution

45. Use el juego de lógica (ejemplo 1.4.15) para determinar si la proposición
∀x∀y∃z((x < y) → ((z > x) ∧ (z < y))) es verdadera o falsa. El dominio de discurso es el conjunto de todos los enteros. Get 1.4.45 exercise solution

 46. Use el juego de lógica (ejemplo 1.4.15) para determinar si la proposición
∀x∀y∃z((x < y) → ((z > x) ∧ (z < y))) es verdadera o falsa. El dominio de discurso es el conjunto de todos los números reales. Get 1.4.46 exercise solution

Suponga que ∀x∀y P(x, y) es verdadera y que el dominio de discurso es no vacío. ¿Cuál de los ejercicios entre el 47 y el 49 debe ser verdadero también? Si la afirmación es verdadera, explique, de otra manera, dé un contraejemplo.


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Get 1.4.49 exercise solution

Suponga que ∀x∃y P(x, y) es verdadera y que el dominio de discurso es no vacío. ¿Cuál de los ejercicios entre el 50 y el 52 debe ser verdadero también? Si la afirmación es verdadera, explique de otra manera, dé un contraejemplo.


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Get 1.4.52 exercise solution

Suponga que ∃x∀y P(x, y) es verdadera y que el dominio de discurso es no vacío. ¿Cuál de los ejercicios entre el 53 y el 55 debe ser verdadero también? Si la afirmación es verdadera, explique; de otra manera, dé un contraejemplo.


Get 1.4.53 exercise solution

Get 1.4.54 exercise solution

Get 1.4.55 exercise solution


Suponga que ∃x∃y P(x, y) es verdadera y que el dominio de discurso es no vacío. ¿Cuál de los ejercicios entre el 56 y el 58 debe ser verdadero también? Si la afirmación es verdadera, explique; de otra manera, dé un contraejemplo.


Get 1.4.56 exercise solution

Get 1.4.57 exercise solution

Get 1.4.58 exercise solution

¿Cuál de los ejercicios entre el 59 y el 62 es lógicamente equivalente a ¬(∀x∃y P(x, y))? Explique.


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