2. Sea S={1, 2, 3, 6}. Defina
x+y=mcm(x, y), x·y=mcd(x, y), x'=6/x
para x, y ∈ S (mcm denota el mínimo común múltiplo y mcd el máximo común divisor). Demuestre que es un álgebra booleana.
3. S={1, 2, 4, 8}. Defina +y ·como en el ejercicio 2 y defina x' =8/x. Demuestre que (S,+,.,´,1,8) no es un álgebra booleana.
Sea Sn ={1, 2, . . . , n}. Defina x+y=máx{x, y}, x·y=mín{x, y}.
4. Demuestre que los incisos a) a c) de la definición 11.3.1 se cumplen para Sn.
5. Demuestre que es posible definir 0, 1 y' de manera que (Sn,´,.,',0,1) es un álgebra booleana si y sólo si n=2.
6. Rescriba las condiciones del Teorema 11.3.6 para conjuntos como los del ejemplo 11.3.3.
7. Interprete el Teorema 11.3.6 para conjuntos como los del ejemplo 11.3.3.
Escriba el dual de cada afirmación en los ejercicios 8 al 14.
8. Si y , entonces y=z. 11. xy =0 si y sólo si xy=x.
9. (x´+y´)´=xy
10. Si x+y=x+z y x'+y=x'+z , entonces y=z
11. xy =0 si y sólo si xy=x.
12. Si x+y=0, entonces x=0=y
13. x=0 si y sólo si para toda y=xy'+x'y para toda y
14. x+x(y+1)=x
15. Pruebe la afirmación del ejercicio 8 al 14.
16. Pruebe los duales de las afirmaciones de los ejercicios 8 al 14.
17. Escriba el dual del Teorema 11.3.4. ¿Cómo se relaciona el dual con el Teorema 11.3.4 en sí?
18. Pruebe las segundas afirmaciones de los incisos a), c) y f) del Teorema 11.3.6.
19. Pruebe las segundas afirmaciones de los incisos a), c) y f) del Teorema 11.3.6 obteniendo el dual de las demostraciones de las primeras afirmaciones.
20. Pruebe el Teorema 11.3.6, incisos d) y e).
21. Deduzca el inciso a) de la definición 11.3.1 a partir de los incisos b) a e) de la definición 11.3.1.
22. Sea U el conjunto de enteros positivos. Sea S la colección de subconjuntos X de U con uno de X o X finito. Demuestre que es un álgebra booleana.
23. Sea n un entero positivo. Sea S el conjunto de todos los divisores de n, incluyendo 1 y n. Defina +y ·como en el ejercicio 2 y defina x = n/x. ¿Qué condición debe satisfacer n para que sea un álgebra booleana?
24. Demuestre que las leyes asociativas se deducen de las otras leyes de la definición 11.3.1.
