7. a) Encuentre todas las subgráficas de la figura 8.8.5 que satisfacen las propiedades (8.8.1) y (8.8.2).
b) Encuentre todas las soluciones del juego de Locura instantánea de la figura 8.8.5.
8. a) Represente el juego de Locura instantánea mediante una gráfica
b) Encuentre una solución al juego. c) Encuentre todas las subgráficas de la gráfica en el inciso a) que satisfacen las propiedades (8.8.1) y (8.8.2). d) Use c) para demostrar que el juego tiene una solución única.
9. Demuestre que el siguiente juego de Locura instantánea no tiene solución, mediante un argumento para probar que ninguna subgráfica satisface las propiedades (8.8.1) y (8.8.2). Observe que no hay solución aun cuando cada cubo contiene los cuatro colores.
10. Dé un ejemplo de un juego de Locura instantánea que satisfaga: a) No tiene solución. b) Cada cubo contiene los cuatro colores. c) Hay una subgráfica que satisface las propiedades (8.8.1) y (8.8.2).
11. Demuestre que hay 24 orientaciones de un cubo.
12. Numere los cubos de un juego de Locura instantánea 1, 2, 3 y 4. Demuestre que el número de maneras en que se apilan los cubos 1, 2, 3 y 4, leyendo de abajo arriba, es 331,776.
13. ¿Cuántas gráficas de Locura instantánea hay; es decir, cuántas gráficas hay con cuatro vértices y 12 aristas, tres de cada uno de los cuatro tipos?
Los ejercicios 14 al 21 se refieren a una versión modificada de Locura instantánea donde una solución se define como un apilado que, al verse desde enfrente, atrás, izquierda o derecha muestra un solo color. (El frente, atrás, izquierda y derecha son de colores diferentes).
14. Dé un argumento que muestre que si se grafica el juego como la Locura instantánea normal, una solución para el juego modificado consiste en dos subgráficas de la forma mostrada en la figura, sin aristas o vértices en común.
18. Gráfica del ejercicio 6
19. Demuestre que para la figura 8.8.5, Locura instantánea, como se presenta en el texto, tiene una solución, pero la versión modificada no tiene solución.
20. Demuestre que si Locura instantánea modificada tiene una solución, la versión presentada en el texto también debe tener una solución.
21. ¿Es posible que ninguna versión de Locura instantánea tenga una solución aun cuando cada cubo contenga los cuatro colores? Si la respuesta es sí, pruébelo; de otra manera, dé un contraejemplo.
