Soluciones Ejercicios Capítulo 11.4 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

En los ejercicios 1 al 10. encuentre la forma normal disyuntiva de cada función y dibuje el circuito combinatorio correspondiente a esa forma normal disyuntiva.



























 
 
 

 







En los ejercicios 11 al 20, encuentre la forma disyuntiva normal de cada función usando las técnicas algebraicas. (a∧b se abrevia ab.)





22. ¿Cuántos elementos tiene F?

23. Demuestre que es un álgebra booleana.


24. Trabajando con el dual en el procedimiento del ejemplo 11.4.4, explique cómo se encuentra la forma conjuntiva normal de una función booleana de Z2 n en Z2.


25. Encuentre la forma conjuntiva normal de cada función en los ejercicios 1 al 10.

26. Usando métodos algebraicos, encuentre la forma conjuntiva normal de cada función en los ejercicios 11 al 20.


27. Demuestre que si m1 ∨···∨mk es la forma disyuntiva normal de


28. Con el método del ejercicio 27, encuentre la forma conjuntiva normal de f para cada función f de los ejercicios 1 al 10.

29. Demuestre que la forma disyuntiva normal (11.4.5) es única; es decir, demuestre que si se tiene una función booleana f(x1, ..., xn) =m1 ∨···∨mk =m '1 ∨···∨m 'j
donde cada mi, mi' es un mintérmino, entonces k=j y los subíndices en las m'i se pueden permutar de manera que mi =m'i para i=1, . . . , k.


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Soluciones Ejercicios Capítulo 11.3 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

1. Verifique las propiedades a' ) a c' ) del ejemplo 11.3.3.


2. Sea S={1, 2, 3, 6}. Defina
x+y=mcm(x, y),        x·y=mcd(x, y),     x'=6/x


para x, y ∈ S (mcm denota el mínimo común múltiplo y mcd el máximo común divisor). Demuestre que es un álgebra booleana.

3. S={1, 2, 4, 8}. Defina +y ·como en el ejercicio 2 y defina x' =8/x. Demuestre que (S,+,.,´,1,8) no es un álgebra booleana.
Sea Sn ={1, 2, . . . , n}. Defina x+y=máx{x, y}, x·y=mín{x, y}.

4. Demuestre que los incisos a) a c) de la definición 11.3.1 se cumplen para Sn.


5. Demuestre que es posible definir 0, 1 y' de manera que (Sn,´,.,',0,1) es un álgebra booleana si y sólo si n=2.


6. Rescriba las condiciones del Teorema 11.3.6 para conjuntos como los del ejemplo 11.3.3.


7. Interprete el Teorema 11.3.6 para conjuntos como los del ejemplo 11.3.3.


Escriba el dual de cada afirmación en los ejercicios 8 al 14.

8. Si y , entonces y=z. 11. xy =0 si y sólo si xy=x.


9. (x´+y´)´=xy
 

10. Si x+y=x+z y x'+y=x'+z , entonces y=z

11. xy =0 si y sólo si xy=x.

12. Si x+y=0, entonces x=0=y


13. x=0 si y sólo si para toda y=xy'+x'y para toda y


14.  x+x(y+1)=x


15. Pruebe la afirmación del ejercicio 8 al 14.


16. Pruebe los duales de las afirmaciones de los ejercicios 8 al 14.


17. Escriba el dual del Teorema 11.3.4. ¿Cómo se relaciona el dual con el Teorema 11.3.4 en sí?


18. Pruebe las segundas afirmaciones de los incisos a), c) y f) del Teorema 11.3.6.


19. Pruebe las segundas afirmaciones de los incisos a), c) y f) del Teorema 11.3.6 obteniendo el dual de las demostraciones de las primeras afirmaciones.


20. Pruebe el Teorema 11.3.6, incisos d) y e).


21. Deduzca el inciso a) de la definición 11.3.1 a partir de los incisos b) a e) de la definición 11.3.1.


22. Sea U el conjunto de enteros positivos. Sea S la colección de subconjuntos X de U con uno de X o X finito. Demuestre que es un álgebra booleana.


23. Sea n un entero positivo. Sea S el conjunto de todos los divisores de n, incluyendo 1 y n. Defina +y ·como en el ejercicio 2 y defina x = n/x. ¿Qué condición debe satisfacer n para que sea un álgebra booleana?


24. Demuestre que las leyes asociativas se deducen de las otras leyes de la definición 11.3.1.


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Soluciones Ejercicios Capítulo 11.2 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

Demuestre que los circuitos combinatorios de los ejercicios 1 al 5 son equivalentes.

 
 

 
 



 
 
 

 




Verifique las ecuaciones en los ejercicios 6 al 10.











Pruebe o desapruebe las ecuaciones en los ejercicios 11 al 15













16. Pruebe la segunda afirmación del Teorema 11.2.1c).

17. Pruebe los incisos a), b) y e) del Teorema 11.2.1. Se dice que dos circuitos de conmutación son equivalentes si las expresiones booleanas que los representan son iguales.

18. Demuestre que los circuitos de conmutación son equivalentes.


19. Para cada circuito de conmutación en los ejercicios 25 al 29 de la sección 11.1, encuentre un circuito de conmutación equivalente usando circuitos en paralelo y en serie que tengan el menor número posible de interruptores.



20. Para cada expresión booleana en los ejercicios 30 al 34 de la sección 11.1, encuentre un circuito de conmutación usando circuitos paralelos y en serie con el menor número posible de interruptores. Un circuito puente es un circuito de conmutación, como el que se ilustra en seguida, que usa circuitos no paralelos y no en serie.


 
Para cada circuito de conmutación, encuentre un circuito de conmutación equivalente usando circuitos puente que tengan el menor número de interruptores.









24. Para cada expresión booleana en los ejercicios 30 al 34 de la sección 11.1, encuentre un circuito de conmutación usando circuitos puente con el menor número posible de interruptores.


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Soluciones Ejercicios Capítulo 11.1 Matemáticas Discretas Johnsonbaugh 6 ed

En los ejercicios 1 al 6, escriba la expresión booleana que representa el circuito combinatorio, escriba la tabla lógica y escriba la salida de cada compuerta simbólicamente como en la figura 11.1.8.












6. El circuito inferior de la figura 11.1.7. Los ejercicios 7 al 9 se refieren al circuito


7. Demuestre que este circuito no es un circuito combinatorio.


8. Demuestre que si x = 0, la salida y está determinada de manera única.
9. Demuestre que si x=1, la salida y es indeterminada.
En los ejercicios 10 al 14, encuentre el valor de las expresiones booleanas para
x1 =1, x2 =1, x3 =0, x4 =1.














15. Usando la definición 11.1.9, demuestre que cada expresión en los ejercicios 10 al 14 es una expresión booleana.
En los ejercicios 16 al 20, determine si la expresión indicada es booleana. Si lo es, utilice la definición 11.1.9 para demostrarlo.


18. (x1)





20. ((x1))

21. Encuentre el circuito combinatorio correspondiente a cada expresión booleana en los ejercicios 10 al 14 y escriba la tabla lógica.

Un circuito de conmutación es una red eléctrica que consiste en interruptores cada uno de los cuales está abierto o cerrado. Un ejemplo aparece en la figura 11.1.12. Si el interruptor X está abierto (cerrado) se escribe X = 0 (X = 1). Los interruptores etiquetados con la misma letra, como B en la figura 11.1.12, están todos abiertos o todos cerrados. El interruptor X, como A en la figura 11.1.12, está abierto si y sólo si el interruptor X , como A , está cerrado. Si puede fluir corriente entre las terminales extremas izquierda y derecha del circuito, se dice que la salida del circuito es 1; de otra manera, se dice que la salida del circuito es 0. Una tabla de conmutación da la salida del circuito para todos los valores de los interruptores. La tabla de conmutación para la figura 11.1.12 es la siguiente:



22. Dibuje un circuito con dos interruptores A y B que tienen la propiedad de que la salida del circuito es 1 precisamente cuando ambos, A y B, están cerrados. Esta configuración se etiqueta A∧B y se llama circuito en serie.


23. Dibuje un circuito con dos interruptores A y B que tienen la propiedad de que la salida del circuito es 1 justo cuando uno de ellos, A o B, está cerrado. Esta configuración se etiqueta A∨B y se llama circuito en paralelo.


24. Demuestre que el circuito de la figura 11.1.12 se puede representar simbólicamente como

Represente cada circuito en los ejercicios 25 al 29 simbólicamente y dé su tabla de conmutación.











Represente las expresiones en los ejercicios 30 al 34 como circuitos de conmutación y escriba las tablas de conmutación.
 



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